三角函数式的求值

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1. 给角求值要求熟练掌握两角和与差的三角函数的基本公式、二倍角公式，特别要注意逆向使用和差角公式与二倍角公式，以此将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数。

例1

求值：sec50°+tan10°

解析：sec50°+tan10°

=1cos50°+cos10°sin10° =1sin40°+cos80°sin80°

=2cos40°+cos80°sin80°=cos40°+cos40°+cos80°sin80°

=cos40°+cos(60°-20°)+cos(60°+20°)cos10°

=cos40°+cos20°cos10° =2cos30°cos10°cos10°=3

总结 评述：本题的解题思路是：变角切割化弦化异角为同角转化为特殊角约去非特殊角的三角函数。

解此类问题的方法是，转化为特殊角，同时能消去非特殊角的三角函数。

2. 给值求值给出角的一种三角函数值，求另外的三角函数式的值，常用到同角三角函数的基本关系及其推论，有时还用到“配角”的技巧，解题的关键是找出已知条件与欲求的值之间的角的运算及函数名称的差异，对已知式与欲求式施以适当的变形，以达到解决问题的目的。

例2 已知 1+tanα1-tanα=5+26求1-sin2αcos2α的值

策略：要求1-sin2αcos2α的值，条件1+tanα1-tanα=5+26 是非常重要的，要从这一条件出发，将α的某一三角函数值求出，即可获解。

解析：1+tanα1-tanα= tan45°+tanα1-tan45°tanα=tan(45°+α)=5+26

cos2α1-sin2α=sin(90°+2α)1+cos(90°+2α)=tan(45°+α)

1-sin2α1cos2α=1tan(45°+α)=15+26=5-26

3. 给值求角

给出三角函数值求角的关键有二：

（1）求出要求角的某一三角函数值（通常以正弦或余弦为目标函数）。

（2）确定所求角在（已求该角的函数值）相应函数的哪一个单调区间上（注意已知条件和中间所求函数值的正负符号）。

例3 若α、β∈（0，π），cosα=－750,tanβ= －13求α+ 2β的值。

解析：由已知不难求出tanα与tan2β的值，这就可求出tan（α+2β）的值，所以要求α+2β的值，关 键是准确判断α+2β的范围。

cosα=－750且α∈（0，π）

sinα= 150,tanα=－17

又tanβ= －13,tan2β=2tanβ1-tan2β=－34

tan（α+2β）= tanα+tan2β1-tan2βtanα

=－17-341-(-17)(-17)(-34)=-1

α∈（0，π），tanα=－17<0,α∈(π2,π)

β∈（0，π），tanβ=－ 13<0,β∈(π2,π)

2β∈（π, 2π），tan2β=－34<0

3π2<2β<2π

α+2β∈（2π，3π）.

而在（2π，3π）上正切值等于－1的角只有11π4

α+2β= 11π4

总结 评述：给值求角问题中，求出三角函数值后，要注意限制角的范围。