关于不定方程x3+1=183y2

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摘要: 利用递归数列的方法证明了不定方程x3+1=183y2仅有整数解(x,y)=(－1,0).

关键词: 不定方程；整数解；递归数列； Jacobi符号

中图分类号:O 156.2 文献标志码:A 文章编号:1672-8513(2011)03-0204-03

Study of the Diophantine Equation x3+1=183y2

WANG Lili,LUO Ming

(School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China)

Abstract: By using the method of recurrent sequence, this research proves that the diophantine equation x3+1=183y2 has only integer solution(x,y)=(-1,0).

Key words: diophantine equation; integer solution; recurrent sequence; Jacobi symbol.

关于不定方程x3±1=Dy2(D>0，不含平方因子)已有不少研究工作.当D不含6k+1形的素因子时，其全部解已由柯召、孙琦、曹珍富等［1］得到，但当D含6k+1形的素因子时，方程的求解比较困难.1991年，王镇江、佟瑞洲［2］证明了x3+1=13y2只有平凡的整数解(x,y)=(－1,0)，当此类方程有非平凡解时更困难.[JP2]1995年，罗明［3］证明了x3+1=14y2仅有整数解(x,y)=(－1,0),(5,±3)，2006年，罗明［4］证明了x3+1=7y2仅有整数解(x,y)=(－1,0),(5,±2).2004年，段辉明［5］证明了x3+1=38y2仅有整数解(x,y)=(－1,0),(31,±28).本文利用递归数列、同余式、平方剩余［6］及Pell方程解［7］的性质证明了不定方程x3+1=183y2仅有整数解(x,y)=(－1,0).[JP]

引理1［1］ 不定方程4x4－3y2=1仅有整数解(x,y)=(±1,±1).

引理2［1］ 不定方程x2－108y4=1仅有整数解(x,y)=(±1,0).

引理3［1］ 不定方程x4－3y2=1仅有整数解(x,y)=(±1,0).

引理4［1］ 不定方程x2－27y4=1仅有整数解(x,y)=(±1,0).

定理 不定方程x3+1=183y2，[JY]（1）

仅有整数解(x,y)=(－1,0).

证明 因为(x+1,x2－x+1)=1或3，故由（1）式得出下列6种可能的分解：

i） x+1=183u2,x2－x+1=v2,y=uv.

ii） x+1=3u2,x2－x+1=61v2,y=uv.

iii） x+1=61u2,x2－x+1=3v2,y=uv.

iv） x+1=u2,x2－x+1=183v2,y=uv.

v) x+1=183u2,x2－x+1=9v2,y=uv.

vi) x+1=3u2,x2－x+1=549v2,y=uv.

以下分别讨论这4种情形所给的（1）式的整数解.

i)由x2－x+1=v2得x=0或1，代入x+1=183u2均不成立，所以该情形无（1）式的整数解.

ii)由x2－x+1=61v2得(2x－1)2－61(2v)2=－3，把x+1=3u2代入得9(2u2－1)2－61(2v)2=－3，所以v0(mod 3)矛盾.

iii）由x2－x+1=3v2得(2x－1)2－3(2v)2=－3把x+1=61u2代入得(122u2－3)2－3(2v)2=－3，所以31u.令u=3u′，则有(2v)2－3(366u′2－1)2=1.若u′=0，则u=0，从而x=－1,y=0.若u′≠0，则366u′2－1>0，从而有|2v|+(366u′2－1)3=xn+yn3=(2+3)n,n≥0.

其中2+3为Pell方程X2－3Y2=1的基本解，所以366u′2=yn+1.

易验证下列关系式成立：

xn+2[KG-*2]=4xn+1－xn,x0=1,x1=2；yn+2=4yn+1－yn,y0=0,y1=1；

x2n－1[KG-*2]=2x2n－3y2n；y2n－1=－x2n+2y2n；x2n=x2n+3y2n；

y2n[KG-*2]=2xnyn；x22n－3y22n=1；x2n+1=3y2n+2x2n.[JP]

由于2[JB(｜]n时，2[JB)｜]yn，所以n±1(mod 4).

当n=4m－1时，366u′2=y4m－1+1=－x4m+2y4m+1=－(x22m+3y22m)+4x2my2m+1=－6y22m+4x2my2m=2y2m(2x2m－3y2m)=2y2mx2m－1.

即183u′2=y2mx2m－1.由(y2m,x2m－1)=(y2m,2x2m－3y2m)=(2,y2m)=2，所以有下列情形成立：

y2m[KG-*2]=366a2,x2m－1[KG-*2]=2b2；[JY]（2）

y2m[KG-*2]=2a2,x2m－1[KG-*2]=366b2；[JY]（3）

y2m[KG-*2]=6a2,x2m－1[KG-*2]=122b2；[JY]（4）

y2m[KG-*2]=122a2,x2m－1[KG-*2]=6b2；[JY]（5）

u′=2ab.

由（2）后式得4b4－3y22m－1=1，从引理1可知y2m－1=±1,m=0或1.

当m=0时，由y2m=366a2得a=0，从而u′=0与假设矛盾.

当m=1时，代入y2m=366a2不成立.

由（3）后式得3662b4－3y22m－1=1从而得10(mod 3)，不可能.

由（4）前式得x22m－108a4=1由引理2知x2m=1，则m=0，不满足（4）的后式.

由（5）后式得36b4－3y22m－1=1，从而10(mod 3)不可能.

同理当n=4m+1时，366u′2=y4m+1+1=x4m+2y4m=x22m+3y22m+4x2my2m+1=

2x22m+4x2my2m=2x2m(x2m+2y2m)=2x2my2m+1，[JP]

可得183u′2=x2my2m+1.由于(y2m+1,x2m)=(x2m+2y2m,x2m)=(2y2m,x2m)=1，所以有下列情形成立：

y2m+1[KG-*2]=183a2,x2m[KG-*2]=b2；[JY]（6）

y2m+1[KG-*2]=a2,x2m[KG-*2]=183b2；[JY]（7）

y2m+1[KG-*2]=3a2,x2m[KG-*2]=61b2；[JY]（8）

y2m+1[KG-*2]=61a2,x2m[KG-*2]=3b2；[JY]（9）

u′=ab.

由（6）后式得b4－3y22m=1，由引理3知y2m=0，m=0，不满足前式.

由（7）后式得1832b4－3y22m=1，从而10(mod 3)不可能.

由（8）前式有x22m+1－27a4=1，由引理4知x2m+1=1不可能.

由（9）后式得9b4－3y22m=1，从而10(mod 3)不可能.

故该情形给出方程（1）的整数解(x,y)=(－1,0).

iv）由x2－x+1=183v2得(2x－1)2－183(2v)2=－3，把x+1=u2代入得

(2u2－3)2－183(2v)2=－3.

若u=0，则x=－1,不满足iv）的前式.若u2=1，则x=0，此时方程无解.

不妨设u2≥2,2u2－3>0,因为方程X2－183Y2=－3有2个结合类解，从而有2u2－3+2v183=

±(xn+yn183)=±(27+2183)(un+vn183) =±(27+2183)(487+36183)n [JY]（10）

或2u2－3+2v183=±(xn+yn183)=±(－27+2183)(un+vn183) =

±(－27+2183)(487+36183)n，[JY]（11）

n∈z，±27+2183是Pell方程X2－183Y2=－3的基本解，487+36183是Pell方程X2－183Y2=1的基本解.因此有2u2－3=±xn,±xn，易证 xn=－x－n.所以只须考虑2u2－3=xn或 xn，显然必须xn≥5,xn≥5，从而（10），（11）只须取

2u2－3+2v183=±(xn+yn183)=±(27+2183)(un+vn183) =

±(27+2183)(487+36183)n,n≥0，

2u2－3+2v183=±(xn+yn183)=±(－27+2183)(un+vn183) =

±(－27+2183)(487+36183)n,n≥0.

只须讨论

2u2－3+2v183=xn+yn183=(27+2183)(un+vn183)=

(27+2183)(487+36183)n，n≥0.这种情况即可，其它情形类似.易验证下列关系式成立：

un+2[KG-*2]=974un+1－un,u0=1,u1=487;

vn+2[KG-*2]=974vn+1－vn,v0=0,v1=36;

xn=27un+2×183vn,x0=27,x1=26325;

xn+2[KG-*2]=33710xn+1－xn;

u2n[KG-*2]=2u2n－1;

v2n[KG-*2]=2unvn;

un+2k[KG-*3]－un(mod uk);

vn+2k[KG-*3]－vn(mod vk);

由xn[KG-*2]=27un+2×183vn可得xn0(mod 3).

由2u2－3[KG-*2]=xn知u0(mod 3)，对xn取模9得xn0(mod 9).这时2u2－30(mod 9)，即－30(mod 9)，这不可能.

v）由x2－x+1=9v2得(2x－1)2－(6v)2=－3，即(2x－1+6v)(2x－1－6v)=－3，而等式左边2个因式的值都是整数，则易知该情形无整数解.

vi）由x2－x+1=549v2得(2x－1)2－549(2v)2=－3，将x+1=3u2代入整理有3(2u2－1)2－183(2v)2=－1，则10(mod 3)矛盾.

综合上述6种情形可得，不定方程x3+1=183y2只有整数解(x,y)=(－1,0).

参考文献:

［1］曹珍富.丢番图方程引论［M］.哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,1989.

［2］王镇江,佟瑞洲.关于丢番图方程x3+1=13y2,xy≠0［J］.黑龙江大学学报:自然科学版，1991,8(4):48-50.

［3］罗明.关于不定方程x3±1=14y2［J］.重庆交通学院学报:自然科学版,1995,14(3):112-116.

［4］罗明.关于不定方程x3+1=7y2［J］.重庆师范学院学报:自然科学版,2003,20(1):5-7.

［5］段辉明.关于不定方程x3+1=38y2［J］.华东师范大学学报:自然科学版,2006,30(1):35-39,139.［6］柯召，孙琦.数论讲义:上［M］.北京：北京高等教育出版社，2001.

［7］柯召，孙琦.数论讲义:下［M］.北京：北京高等教育出版社，2001.

收稿日期:2010-11-10.

基金项目:西南大学博士基金（SWUB2006053）.

作者简介:王丽丽（1984-），女，硕士研究生.主要研究方向：代数数论.

通讯作者:罗明（1958-），男，博士，教授.主要研究方向:数论.