时变时滞神经网络系统的时滞依赖的鲁棒稳定性准则
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摘 要:基于Lyapunov稳定性理论和线性矩阵不等式技术,针对一类带有范数有界不确定性的时变时滞神经网络系统,给出时滞依赖的鲁棒稳定性准则｡系统稳定的充分条件是在激励函数满足一类更为通用的条件下得到的,即激励函数不必是单调可微的,并且消除对时变时滞导数的限制｡所给的准则可用Matlab中的线性矩阵不等式控制工具箱进行验证｡仿真结果进一步证明结论的有效性｡
关键词:时滞依赖鲁棒稳定性;时变时滞;范数有界不确定性
中图分类号:TP183文献标识码:A
1 引 言
近年来,各种神经网络系统如Hopfield神经网络[1],细胞神经网络[2],双向联想记忆神经网络[3]和Cohen-Grossberg神经网络[4]都被广泛的研究｡在神经网络的电子线路实现中,由于运算放大器的有限切换速度,时滞的存在是不可避免的｡时滞会影响神经网络的动态特性,如产生动荡或不稳定性等｡于是人们对不同类型的时滞神经网络系统的动态特性进行了广泛的研究｡目前,人们所得到的稳定性准则包括两类:时滞独立稳定性准则[5-8]和时滞依赖稳定性准则[9-10]｡众所周知,时滞独立的稳定性准则比时滞依赖的保守性大,所以人们更注重于研究时滞依赖的稳定性准则｡文献[9]给出了时变时滞神经网络系统的时滞依赖的稳定性准则,但他们没有考虑系统不确定性｡然而,由于模型误差,外部扰动和参数波动将会导致模型不确定性的产生,从而使系统的动态特性变得更加复杂｡所以系统模型应该具有一定的鲁棒性｡文献[10]虽然给出了时滞依赖的鲁棒稳定性,但由于所取的Lyapunov函数需要进一步改进,所以仍有一定的保守性｡
本文针对一类带有范数有界不确定性的时变时滞神经网络系统,利用Lyapunov函数和线性矩阵不等式技术给出了时滞依赖的鲁棒稳定性准则｡在推导过程中,没有采用不等式放大技术,从而降低了保守性,并且解除了对时变时滞导数的限制,适用性更广｡最后通过数值例子进一步验证了结论的有效性｡
2 系统描述
考虑如下的神经网络系统:
其中x(t)=[x1(t),…,xn(t)]T∈Rn是神经元的状态,f(x)=[f1(x1(t)),…,fn(xn(t))]T表示神经元激励函数,C=dig(ci)其中ci>0,A,B表示连接矩阵的系数,ΔC(t),ΔA(t)和ΔB(t)是参数不确定性,I=[I1,…,In]表示外界常值输入.时变时滞满足0≤d(t)≤d和(t)≤μ.
本文考虑的不确定性是范数有界的,形式如下:
其中Ei,Hi(i=1,2,3)是已知的适当维数的矩阵,Gi(t)(i=1,2,3)是时变不确定矩阵,满足
另外,假设激励函数fi(・)(i=1,2,…,n)有界且满足如下条件
其中h-i,h+i(i=1,2,…,n)是常数.h-i,h+i可以是正的,负的和零｡所以它比Sigmoid型激励函数和Lipschitz型激励函数更弱一些｡
计算技术与自动化2007年6月第26卷第2期苏卫卫等:时变时滞神经网络系统的时滞依赖的鲁棒稳定性准则由上面的假设可知系统(1)至少存在一个平衡点｡令x=[x唱1,x唱2,…,x唱n]T为系统(1)的一个平衡点,为方便,通过坐标变换z(t)=x(t)-x辰平衡点转移到原点, 则式(1)变为
其中z(t)=[z1(t),z2(t),…,zn(t)]T,g(z(t))=[g1(z1(t)),g2(z2(t)),…,gn(zn(t))]T是变化后的激励函数,gi(zi(t))=fi(zi(t)+x唱i)-fi(x唱i)且满足如下的条件
等价于
为方便,将(5)简记为
其中=C+ΔC(t),=A+ΔA(t),=B+ΔB(t)
引理1 设E,F和H是具有适当维数的矩阵,F满足FTF≤I.则对任意的ε>0
EFH+HTFTET≤ε-1EET+εHTH
3 主要结果
在这部分,我们讨论系统(1)的平衡点的全局渐进稳定性｡
定理1 定义H1=dig{h-1h+1,…,h-nh+n},H2=dig{h-1+h+1,…,h-n､,h+n},对给定的0
炒表矩阵对称位置元素的转置｡
证明 对系统(1)构造如下的Lyapunov函数
其中P,R,Q1和Q2是正定矩阵,li(i=1,2,…,n)是正的常数.
沿系统(8)的轨迹对t求导,可以得到
所以存在适当维数的矩阵Yi(i=1,2,3)满足
考虑系统中矩阵的关系,存在适当维数的矩阵Ti(i=1,2)满足
把(12) 和(13)加到(t).
应用S-procedure, 如果存在正定对角矩阵S和M, 满足
则系统(1)的平衡点是全局渐进稳定的｡
其中
考虑由(2)和(3)描述的不确定性,应用引理1和Schur补,由F1
注 在定理的证明过程中,没有应用不等式放大技术,从而减少了保守性,并且时变时滞导数可以大于1,扩大了适用范围｡进一步,分离了系统矩阵和Lyapunov矩阵,此定理可以很容易地应用于多胞型不确定性系统｡
4 仿真实例
考虑系统(1),系统系数如下
根据时滞独立的稳定性准则如文献[5],系统是不稳定的｡应用文献[9]中的定理1,保证系统稳定的所允许的最大时滞是1.9321,应用本文中的定理可得最大时滞是h=3.5841,从而可知本文所给的稳定性准则比以前的结果要好｡
5 结 论
本文讨论了一类带有范数有界不确定性的时变时滞神经网络系统的时滞依赖的鲁棒稳定性｡所考虑的不确定性是时变范数有界的｡准则是以矩阵不等式的形式给出的,可用Matlab中的LMI控制工具箱求解｡该判据不仅适用于系统时滞变化率大于1 的情形,且与现有的方法相比具有更小的保守性｡数值仿真结果证明了所给准则的有效性｡
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