有“图”有真相

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平面向量的核心思想是数形结合，融“数”“形”于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”?郾 研究向量问题时，若解读出几何意义，恰到好处地构造“图形”，就可以将许多复杂问题简单化，抽象问题直观化?郾

一、构造三角形

例1 若|a|=1，|b|=2，c=a+b，且ca，则向量a与b的夹角为（）

A?郾 30°?摇?摇 B?郾 60°?摇

C?郾 120°?摇 D?郾 150°

解 构造如图1所示的直角三角形，易得向量a与b的夹角即为内角B的补角，应为120°?郾 故选C?郾

评注 由于向量加法法则（首尾相连）与向量减法法则，都是三角形法则，所以可以通过构造三角形模型，利用正、余弦定理及勾股定理来求解向量的夹角和模?郾

二、构造平行四边形

例2 已知向量a、b满足：|a|=1，|b|=2，|a－b|=2，则|a+b|=（）

A?郾 1?摇 ?摇 B?郾 ■?摇?摇 C?郾 ■?摇?摇 D?郾 ■

解 如图2，|a|、|b|、|a+b|、|a-b|分别是一平行四边形的两邻边及两条对角线长，则|a+b|2+|a-b|2=2（|a|2+|b|2），将|a|=1， |b|=2，|a－b|=2代入，得|a+b|=■?郾 故选D?郾

评注 当向量a与b不共线时，|a|、|b|、|a+b|、|a-b|分别是一平行四边形的两邻边及两条对角线长?郾 涉及这四个量中的几个量时，可以构造平行四边形来解决?郾

三、构造矩形

例3 设a，b，c满足a+b+c=0，（a-b）c，ab，若|a|=1，则|a|2+|b|2+|c|2的值为?摇?郾

解 依题意构图3，令■=a，■=b，其中■■，作平行四边形OACB?郾 ■=■+■=a+b=-c，即■=c，■=■-■=a-b?郾 由于ab，则∠AOB=90°，即平行四边形OACB为矩形. 又由于（a-b）c，则■■，所以四边形OACB为正方形?郾 故|b|=|a|=1， |c|=|a-b|=■|a|=■，从而|a|2+|b|2+ |c|2=4?郾

评注 在平行四边形ABCD中，若ABAD，或 |■+■|=|■-■|，即可构造矩形模型?郾

四、构造菱形

例4 已知非零向量a、b，若a+2b与a－2b互相垂直，则■=（）

A?郾 ■?摇?摇 B?郾 4?摇?摇 C?郾 ■?摇?摇 D?郾 2

解 以a、2b为邻边作一平行四边形，且a+2b与a－2b互相垂直，则此平行四边形为菱形，则|a|=|2b|?郾 故选D?郾

评注 在平行四边形ABCD中，若|■|=|■|或（■+■）・（■-■）=0，即可构造菱形模型?郾

五、构造圆

例5 已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足（a-c）・（b-c）=0，则|c|的最大值是（）

A?郾 1?摇?摇 B?郾 2?摇?摇

C?郾 ■?摇?摇 D?郾 ■

解 如图4，令■=a，■=b，■=c，因为（a-c）・（b-c）=0，则点C在以AB为直径端点的圆上?郾 所以|c|的最大值为■?郾 故选C?郾

评注 若■■时，且A、B为定点时，则点C在以AB为直径的圆上，即可构造圆模型?郾

六、构造距离

例6 已知a≠e，|e|=1，对任意t∈R，恒有|a-te|≥|a-e|，则（）

A?郾 ae?摇?摇 B?郾 a（a-e）?摇?摇 C?郾 e（a-e）?摇?摇 D?郾 （a+e）（a-e）

解 如图5，■=a，■=te，|a-te|≥|a-e|恒成立，则|a-e|是点A到向量e所在直线的距离，即e（a-e）?郾 故选C?郾

评注 利用向量模的几何意义，可构造与距离相关的模型?郾

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