极限法在物理解题中的应用例析

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极限思维法是一种科学的思维方法。假若某物理量在某一区间内是单调连续变化的，我们可以将该物理量或它的变化过程和现象外推到该区域内的极限情况(或极端值)，使物理问题的本质迅速暴露出来，再根据己知的经验事实很快得出规律性的认识或正确的判断。这种思维方法称为极限思维法。

极限法在物理学研究中有广泛的应用。开尔文把查理定律外推到零压强这一极限情况，而引入了热力学温标，使气体实验定律的表述大大简化。伽利略在研究自由落体运动规律时，先证明从斜面上滚下的小球做匀变速运动，后又把结论外推到斜面倾角增大到90°的极限情况――小球自由下落，从而用极限思维法间接证明了自己对自由落体运动规律的论断是正确的。

极限法(又称极端法)在物理解题中有比较广泛的应用。若将貌似复杂的问题推到极端状态或极限值条件下进行分析，问题往往变得十分简单。利用极限法可以将倾角变化的斜面转化成平面或竖直面。可将复杂电路变成简单电路，可将运动物体视为静止物体，可将变量转化成特殊的恒定值，可将非理想物理模型转化成理想物理模型，从而避免了不必要的详尽的物理过程分析和繁琐的数学推导运算，使问题的隐含条件暴露，陌生结果变得熟悉，难以判断的结论变得一目了然。

极限法常见的方法有三种：极限假设法、特殊值分析法和临界状态分析法。下面举例说明。

例1 物体A可在倾角为θ的斜面上运动，如图1所示，若A的初速度为v0，它与斜面间的

动摩擦因数为μ。在相同情况下，A上滑与下滑的加速度大小之比为

A.sinθ-μcosθμcosθ-sinθ。

B.sinθ+μcosθsinθ-μcosθ。

C.μ+tanθ。

D.μcosθsinθ-μcos。

析与解 本题的常规解法，是先对A进行受力分析，再应用牛顿第二定律，分别求A上滑和下滑时的加速度表达式，最后求二者之比。这样做，费时费力，容易出错。今用极限假设法求解；则能迅速、准确得出正确结论。

假设斜面倾角为90°，即斜面变成竖直面，A物体的上滑和下滑，就等同于竖直上抛和自由落体。上滑、下滑加速度都是g，比值为1。对照四个供选答案，将θ=90°代入检查，只有B答案能符合假设的要求。应选B。

点评 将斜面改成竖直面(即θ=90°)并未改变上滑减速、下滑加速这一运动性质。这样的极端假设是合理的。若将斜面改成水平面(即θ=0°)，无论上滑还是下滑都变成减速运动，就改变了题目中约定的运动性质。这种假设就是不合理的，当然也得不出正确结果。

对本题我们还可以做这样的极端假设：

认为斜面是光滑的(即μ=0)，同样可得到正确结果B。

例2 如图2所示，两点电荷所带电量均为+Q，A处有一电子沿两点电荷连线的中垂线运动，方向指向O点。设电子原来静止，A点离O点足够远，电子只受电场力作用。那么在从A到O过程中电子的运动状态是下面所述的哪一个

A.先匀加速，后匀减速。

B.加速度越来越小，速度越来越大。

C.加速度越来越大，速度越来越小。

D.加速度先变大后变小，最后变为零。

析与解 采用特殊值分析法，先考察两个特殊位置：A点离O点无限远，则电子在A点所受电场力便为零；而O点的场强为零，电子在O点的电场力也为零，所以电子在A点、O点的加速度均为零。再在AO之间任选一点，该点的场强不为零，电场力不为零，加速度也不为零。电子从A到O，其加速度是从零变大后又变为零，正确答案应为D。

点评 用极限法考虑问题时，在选定的区域内所研究的物理量必须是连续单调变化的。在本题中，A到O变化区域内，加速度a并不是单调变化的，为什么也可以应用极限法呢?实际上我们选用了两个特殊点A和O点，只研究了这两个点附近区域a的变化。在A点和O点附近区域内a仍是单调变化的。在A和O之间还存一个a为极大值的位置B。从A到B，a是单调增大的，从B到O，a是单调减小的。将A到O分成两个单调区域，极限法可以使用了。

例3 如图3所示，A物体和B物体由轻质细线连接跨过定滑轮，A置于斜面上。A、B均静止。且mA∶mB=3∶2，斜面倾角θ=30°。若将一小物体C轻放在A上，A仍保持静止，则这时A受到斜面给它的摩擦力可能是

A.变大，方向沿斜面向下。

B.变小，方向沿斜面向下。

C.变为零。

D.变小，方向沿斜面向上。

析与解 若摩擦力恰好为零，A能静止在斜面上，有mAgsin30°=T=mBg。

即mAmB=21。

今mAmB=32，说明A有沿斜面向上滑动的趋势，A受到的静摩擦力fs，方向沿斜面向下，若在A上放一小物体C，A仍保持静止。则有三种可能：

①mA+mCmB=2,fs=0。

②mA+mCmB仍小于2，fs变小，仍沿斜面向下。

③mA+mCmB已大于2，fs变为沿斜面向上，有可能比原fs大，也有可能比原fs小。因此选B、C、D。

点评 当A受到静摩擦力fs=0就是一种临界状态。将fs推至临界状态进行分析，就能很快得出正确结论。

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