具非线性扩散系数和阻尼项的中立型双曲偏微分方程解的振动性

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摘要: 研究了一类具非线性扩散系数和阻尼项的中立型双曲偏微分方程，通过利用Riccati变换和微分不等式方法，获得了该方程在2类边值条件下解振动的一些充分条件.

关键词: 阻尼项；非线性扩散系数；双曲型偏微分方程

中图分类号:O175.27

文献标识码:A文章编号:1672-8513(2010)03-0181-04

Oscillation of the Solutions of Neutral Hyperbolic Partial Differential

Equation with Nonlinear Diffusion Coefficient and Damped Term

ZENG Yunhui

（Department of Mathematics and Computational Science，Hengyang Normal University，Hengyang 421008，China）

Abstract:

This paper discusses the oscillation of solutions of neutral hyperbolic partial differential equation with nonlinear diffusion coefficient and damped term. Some sufficient conditions for each solution are obtained by using Riccati transformation and the method of differential inequality under two kinds of different boundary value conditions.

Key words:

damped term; nonlinear diffusion coefficient; hyperbolic partial differential equation

近年来，国内外许多学者研究了双曲型偏微分方程解的振动性，已有一些研究成果发表［1-6］，但具非线性扩散系数和阻尼项的中立型双曲泛函微分方程解的振动性的研究成果目前国内尚未见报道.本文讨论一类具非线性扩散系数和阻尼项的中立型双曲偏微分方程解的振动性.

考虑如下偏微分方程

tr(t)t［u(x，t)+∑dr=1cr(t)u(x，δr(t))］+m(t)t［u(x，t)+∑dr=1cr(t)u(x，δr(t))］=

a(t)h(u)Δu+∑mj=1aj(t)hj(u(x，t－τj(t)))Δu(x，t－τj(t))－

∑nk=1bk(x，t)fk(u(x，t－σk(t)))，（1）

其中(x，t)∈Ω×R+G，R+=［0，∞)，ΩRn有界且Ω逐片光滑，Δu=∑ni=12ux2i，(x，t)∈G.

边值条件：uN=g(u，x，t)，(x，t)∈Ω×R+，（2）

u(x，t)=0，(x，t)∈Ω×R+，（3）

本文总假定下列条件成立：

(H1) r(t)，m(t)，a(t)，aj(t)，τj(t)，σk(t)∈C(R+，R+); bk(x，t)∈C［×R+，(0，∞)］，bk(t)=minx∈Ωbk(x，t)，τj(t)≤t，σk(t)≤t，σ′k(t)≤1，cr(t)∈C(R+，R+)，0≤∑dr=1cr(t)

(H2) h(u)，hj(u)，fk(u)∈C(R，R)，且对u≠0有 fk(u)u≥Ckconst>0，uh(u)g(u，x，t)

引理1 设Q(t)∈C(［μ，+∞);R+)，Qk(t)，σk(t)∈C(［μ，+∞);R+)，σk(t)关于t为非减函数且σk(t)≤t，limt+∞(t－σk(t))=+∞，若条件

∫+∞t3 Qk(s)ds=+∞，(t3>0)(4)

成立，则微分不等式 Z′(t)+Q(t)Z(t)+∑nk=1Qk(t)Z(t－σk(t))≤0无最终正解.

证明 （反证法）假设Z(t)是微分不等式

Z′(t)+Q(t)Z(t)+∑nk=1Qk(t)Z(t－σk(t))≤0.

的一个最终正解，则存在t1>0，当t≥t1>0时，Z(t)>0，可得

Z′(t)+∑nk=1Qk(t)Z(t－σk(t))≤0

又σk(t)≤t，limt+∞(t－σk(t))=+∞，则存在t2≥t1>0，当t≥t2>0时，Z(t－σk(t))>0.因此

Z′(t)≤－∑nk=1Qk(t)Z(t－σk(t))，

故limt+∞Z(t)=C1≥0，则存在t3≥t2>0，当t>t3>0时，有Z(t－σk(t))≥C1.从而得

Z′(t)≤－C1∑nk=1Qk(t)(5)

第3期曾云辉：具非线性扩散系数和阻尼项的中立型双曲偏微分方程解的振动性

对(5)在［t3，t］上关于t积分，得Z(t)≤Z(t3)－C1∑nk=1∫t3tQk(s)ds，取极限并结合条件(4)有limt+∞Z(t)≤Z(t3)－C1∑nk=1∫t3∞Qk(s)ds=－∞这与Z(t)>0矛盾，引理1得证.

定理1 对于方程（1）、(2)，条件(H1)，(H2)及（4）成立，其中

Qk(t)=Ckbk(t)［1－∑dr=1cr(t)］θk［t－σk(t)］1－σ′k(t)r(t－σk(t))，0

若满足

∫+∞t21r(ξ)exp［－∫t1ξm(s)r(s)ds］dξ=+∞，（6）

则方程(1),(2)的所有解在G内是振动的.

证明 假设方程（1），（2）存在一个非振动解u(x，t)，不失一般性，不妨设u(x，t)>0，t≥t0>0，t0为某一常数（若u(x，t)0，u(x，t－τj(t))>0，u(x，t－σk(t))>0，u(δr(t))>0，j∈Im，k∈In.

方程（1）两边在Ω上关于x积分得：

ddtr(t)ddt［∫Ωu(x，t)dx+∑dr=1cr(t)∫Ωu(x，δr(t))dx］+m(t)

ddt［∫Ωu(x，t)dx+∑dr=1cr(t)∫Ωu(x，δr(t))dx］=a(t)∫Ωh(u)Δu(x，t)dx+∑mj=1aj(t)∫Ωhj(u(x，t－τj(t)))Δu(x，t－τj(t))dx－∑nk=1∫Ωbk(x，t)fk(u(x，t－σk(t)))dx，t≥t1，（7）

由Green公式及边值条件（2）和(H2)有：

∫Ωh(u)Δux，tdx=∫Ωh(u)u(x，t)Nds－∫Ωh′(u)gradu2dx=∫Ωh(u)g(u，x，t)ds－∫Ωh′(u)gradu2dx≤0， t≥t1，（8）

∫Ωhj(u(x，t－τj(t)))Δu(x，t－τj(t))dx≤0，j∈Im， t≥t1，（9）

其中ds是Ω上的面积元素，又由(H1)和(H2)有

∫Ωbk(x，t)fk(u(x，t－σk(t)))dx≥bk(t)Ck∫Ωu(x，t－σk(t))dx，(10)

令V(t)=∫Ωu(x，t)dx，则当t≥t1时，V(t)>0，由(7)~(10)可得：

r(t)［V(t)+∑dr=1cr(t)V(δr(t))］′′+m(t)［V(t)+∑dr=1cr(t)V(δr(t))］′+∑nk=1Ckbk(t)V(t－σk(t))≤0，

令y(t)=exp∫tt1m(s)r(s)ds，w(t)=［V(t)+∑dr=1cr(t)V(δr(t))］，则w(t)≥V(t)>0且有

［r(t)w′(t)］′+m(t)w′(t)+∑nk=1Ckbk(t)V(t－σk(t))≤0，t≥t1（11）

由于［r(t)w′(t)y(t)］′=［r(t)w′(t)］′y(t)+r(t)w′(t)y′(t)=［r(t)w′(t)］′y(t)+r(t)w′(t)y(t)m(t)r(t) =［r(t)w′(t)］′+m(t)w′(t)y(t)

因此， 1y(t)［r(t)w′(t)y(t)］′=［r(t)w′(t)］′+m(t)w′(t).

从而， 1y(t)［r(t)w′(t)y(t)］′+∑nk=1Ckbk(t)V(t－σk(t))≤0.

从而， ［r(t)w′(t)y(t)］′≤0.

下证：w′(t)≥0且不能w′(t)0.

若w′(t)0，使当t≥t2>0时，有

r(t)w′(t)y(t)≤r(t2)w′(t2)y(t2)=α

w′(t)≤αy(t)r(t)=α1r(t)exp(－∫tt1m(s)r(s)ds)(12)

对（12）式在［t2，t］上关于t积分，得

w(t)≤w(t2)+α∫tt21r(ξ)exp(－∫ξt1m(s)r(s)ds)dξ .（13）

对（13）取极限及条件（6）有

limt∞w(t)≤w(t2)+α∫+∞t21r(ξ)exp(－∫ξt1m(s)r(s)ds)dξ=－∞这与w(t)>0矛盾.

又若w(t)0，则［r(t)w′(t)y(t)］′0，由（16）可得∑nk=1Ckbk(t)V(t－σk(t))≤0，此不可能，因此，w′(t)≥0且不能w′(t)0.

于是有w(t)=［V(t)+∑dr=1cr(t)V(δr(t))］，则w(t)≥V(t)>0，得

V(t)=w(t)－∑dr=1cr(t)V(δr(t))≥w(t)－∑dr=1cr(t)w(δr(t))≥［1－∑dr=1cr(t)］w(t)，

V(t－σk(t))≥［1－∑dr=1cr(t)］w(t－σk(t))，

从而由（11）得

［r(t)w′(t)］′+m(t)w′(t)+∑nk=1Ckbk(t)［1－∑dr=1cr(t)］w(t－σk(t))≤0.

由微分中值定理，当t≥σk(t)>t2>0时，存在0

w(t－σk(t))≥θk［t－σk(t)］w′(t－σk(t))，

因此 ［r(t)w′(t)］′+m(t)w′(t)+∑nk=1Ckbk(t)［1－∑dr=1cr(t)］θk［t－σk(t)］w′(t－σk(t))≤0.

令Z(t)=r(t)w′(t)，则w′(t)=1r(t)Z(t)，w′(t - σk (t)) = 1 -σk ′ (t)r(t -σk (t))Z(t -σk (t))，

即Z′(t)+Q(t)Z(t)+∑nk=1Qk(t)Z(t－σk(t)≤0,（14）

其中Q(t)=m(t)r(t).

由引理1得微分不等式（14）无最终正解，因此，存在u≥t2>0，使当t≥u>0时，Z(t)=r(t)w′(t)≤0，故w′(t)≤0，这与已证的w′(t)≥0且不能w′(t)0矛盾.定理1得证.

为了讨论（1），（3）的振动性，引入如下引理.

引理2［8］ 设λ0是下列特征值问题

Δφ(x)+λφ(x)=0，x∈Ω，λ是常数，φ(x)=0，x∈Ω，

的最小特征值，φ(x)是与λ0对应的特征函数，则λ0>0，φ(x)>0，x∈Ω.

类似定理1的证明有：

定理2 设定理1中的条件全部满足，h(u)，hj(u)为常数（均设为1，j∈Im),则方程（1），（3）的所有解在G内是振动的.

参考文献:

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