数学中的“事做的正确和正确地做事”

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一、问题产生

日前笔者教学中，遇到如下问题：

过双曲线x2-■=1的右焦点F2作直线l交双曲线于A， B两点，若|AB|=4，则这样的直线l有_______条。

学生的答案五花八门，有一条的、两条的、三条的，问了几个回答正确的学生，都认为通径算一条，然后“斜的”还有两条。答案虽然正确，但过程有点凭感觉。说得通俗一点就是学生“把题目写对了，但没有准确地把题目做对”，这与我们学习数学追求严谨性相悖，因此，与必要在此进行研究。学生出现此问题，究其原因，还是对双曲线通径的理解上存在问题。

二、问题探究

为了解决此问题，我在此题的教学时，首先回顾了双曲线的焦半径公式：

双曲线上任意一点到其焦点的距离称为该点的焦半径。

已知点P（x0，y0）在双曲线■-■= 1（a>0，b>0）上，F1， F2分别为双曲线的左、右焦点。若点P在右半支上，则 PF1 =ex0+a，PF2=ex0-a；若点P在左半支上，则PF1=-ex0+a，PF2=-ex0-a。

设右支通径为AB，则AB=2■。

可以证明通径是直线与右支有两个交点的弦长中最短的弦。设过右焦点的直线与右支交点分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则弦长P1P2=P1F2+P2F2=ex1-a+ex2-a=e（x1+x2）-2a≥e・2c-2a=2■，当且仅当F2为P1，P2中点时取等号。

对于开头的问题，我们可以这样说明：双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，过抛物线的焦点一定有两条直线，使得交点之间的距离等于4，而当直线与实轴垂直时，此时即为通径长，也是等于4的线段，综上可知有三条直线满足|AB|=4。

当然，解决此问题也可以从交点弦的角度进行研究：

设双曲线■-■= 1（a>0，b>0），其中两焦点坐标为F1（-c，0），F2（c，0），过F1的直线的倾斜角为α，交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|。

（如图）当直线与双曲线的两个交点A、B都在双曲线同一支上时，连接F2A，F2B，设|F1A|=x，|F1B|=y，由双曲线定义可得|F2A|=2a+x，|F2B|=2a+y，由余弦定理可得x2+（2c）2-2x・2c・cosα=（2a+x）2整理可得x=■，同理y=■，则可求得弦长|AB|=x+y=■+■=■。

由公式可知，当α=90°时，弦长|AB|最短。因此，开头的问题中，若A、B两点都在右支上，则等于4的弦只有一条，另外两条的说明同前。

课程改革对当前的教育教学提出了更新更高的要求，新课程标准也向每一位教师提出了前所未有的挑战。作为一名一线教师，在追求数学教育的核心目标上要不断努力，做好学习者的角色。

《普通高中数学课程标准》中“以人为本”的理念决定着数学教学的目标指向：适应并促进人的发展。这就要求数学教师必须以学习者的角色去读懂学生。只有了解学生的知识水平、优势与不足、学习的最佳方式以及学生之所需，教师才能教好学生，才能找到有效的教学方式。教师要摸清学生数学学习过程中的心理机制、认知特点，以学习者的角色去体验数学学习，从学习者的立场来发现问题、反思问题，进而引发学生“学会向数学知识提问”“学会向数学问题解决提问”（即问题解决后的反思），引导学生不仅“把事做的正确”，更要引导学生“正确地做好事”。只有这样，教师才能找到最佳的教学方案，从而达到事半功倍的教学效果，真正达到有效教学的目标，同时提高学生的数学素养。