对称思想在中学平面几何证明中的应用
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【摘 要】本文首先介绍几种对称的概念，然后举例说明轴对称和中心对称在平面几何证明中的应用，最后指出对称思想不仅能够帮助学生弄清条件与结论之间的关系，而且能够将几何问题化繁为简，化抽象为具体，提高学生解决问题的能力。
【关键词】对称思想;几何证明;中心对称
几何是中学数学教学中较难的学科，学生在学习时感到非常困难。冯俊仁等人提出了这样的观点：几何具有多样性、变化多端的特点，正是这种特点决定了几何具有重大的教育价值。因此，学习几何对提高学生思维能力、空间想象力具有决定性的作用，在培养学生文化素质方面拥有其他学科不可取代的地位。对称思想在中学几何证明中的应用既减少了许多抽象复杂的论证，又可以形象的帮助学生弄清条件与结论之间的关系，蔺守臣等人研究对称问题也正因为对称思想具有这些研究价值。然而几何证明对于中学生学习既是重点，又是难点。当我们直接证明几何问题遇到困惑时，不妨考虑此问题的对称问题，即对称的点、对称直线或者对称平面，这些观点曾出现在夏向阳等人的文章中。
1.对称的概念
我们都对对称有一种直观的感受，然而，如果能用一种正式的方式去定义对称的话，这将有助于加深我们对它的理解。如果一次或者多次非平凡的行为使一个物体没有变化，此物体为对称物体。对称在几何证明中的应用变化无常，对称包括轴对称、中心对称、平面对称、旋转对称，对称变换可以使条件相对集中，也可以构成新的图形。
1.1轴对称的概念
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。这时，我们也说这个图形关于这条直线的轴对称。
等腰三角形、正方形、等边三角形、等腰梯形、正多边形等都是轴对称图形。有的轴对称图形不止一条对称轴，圆有无数条对称轴，每条直径所在的直线都是圆的对称轴。
1.2中心对称的概念
把一个图形绕着某一个定点旋转180°，旋转后的图形如果能够与原图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称，这个点叫做对称中心。
1.3旋转对称的概念
把一个图形绕着某一定点旋转一个角度（n为大于1的正整数）后，与初始的图形重合，这种图形就叫做旋转对称图形，这个定点就叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。
从小学刚接触几何图形开始，就要学习图形的对称，可见对称是几何的根本。高中以前，我们遇到的几何对称全部是平面上的对称，那么对称思想在几何证明中又起着什么样的作用呢？
2.1轴对称在平面几何中的应用
例2.1如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的动点，且AE=AF证明在运动过程中，CEF始终是等腰三角形。
分析：求证FDC≌EBC，得到FC=EC解答。
说明2.1对于此题，绝大部分学生首先能想到运用全等中的来解答，需要考虑线段互补，步骤繁多。但如果用对称性来解答的话，不仅思路清晰而且步骤简短，大大提高解题效率，只是很少有同学能想到。因此，利用对称思想方法解题，可以拓展学生解题思路。
2.2中心对称在平面几何证明中的应用
中心对称在几何中也会经常用到，不仅仅是图形的对称，两点关于定点对称也是中心对称的一种，通过构造点的对称来构造图形的对称。
例2.2如图，在ABC中，点D是边AC的中点，E和F分别是边AB，BC上的点，求证：DEF的面积不超过与的面积之和。
分析 把ADE与CDF集中起来，充分利用中点这个条件，采用中心对称的方法把它们集中起来，作ABC关于D为对称中心的对称图形AB1C，延长FD交AB1于H，连接HD，即可达到集中的目的。
说明2.2此题化分散为集中，利用中心对称思想考察全等三角形的知识，及问题的相互转化的能力。若用补全平行四边形的方法，证明三角形全等，最后也要达到化分散为集中的目的，实际上此方法也是源于对称思想。
2.3旋转对称的应用
有些图形不是对称图形，但是在解题过程中我们如果运用对称的思想去证明的话将会事半功倍，大大提高解题的速度，提高学习效率。通过旋转可以使图形达到对称的目的，从而快速的完成解题。旋转对称性问题是一类用运动的观点、运动的思想去研究图形性质或图形位置变化的数学问题，这类数学问题常常要运用“动”的思想去观察、猜想、推理、分析，从中寻找规律，把分散的条件相对集中，从而达到解决问题的目的。
例2.3如图，ABO绕O点旋转180°，证明AB1∥A1B.
分析 本题解法颇多，但利用图形的对称性来解答可避免一些繁琐运算，使思维带有显著的几何直观，易于简明地解答问题。
3.结束语
本文介绍了轴对称、中心对称、旋转对称的概念及其相关性质，根据文中的例题可以看出，轴对称的应用多于中心对称和旋转对称，旋转对称则是以一种变换的形式存在于几何中。如若要证明结论相等，而且题目中又没有明显的提示，一般情况下考虑用对称的思想巧作辅助线。在作线段或者图形相等时，有些没有直接说明此题运用了对称思想，实际上已经运用了对称思想。通过对比发现，对称思想在立体几何证明中的应用不如在平面几何证明中的应用广泛，这是由于立体几何的知识面比平面几何的知识面要广，证明的方法要多。
【参考文献】
[1]冯俊仁.谈解析几何中的对称变换[J].高中数理化，2009（04）
[2]蔺守臣，蔡恒录.对称思想及解题[J].教育科学版，2000年专样第20卷.
[3]夏向阳.数学的对称观及其在数学中的应用[J].教育，2010.8期.
[4]田鹏.数学的对称美及其作用[J].自然科学版.2010年3月第3卷第3期