两种实现宽带信号空间重采样测向算法的比较
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摘 要：空间重采样是一种用于宽带信号的处理方法。由于宽频带的缘故，使得不同频率的信号阵列流行不同，适用于窄带信号的处理方法就不能直接用于宽带信号。为了把不同频率的信号子空间对齐，空间重采样的方法通过将接收到的阵列信号通过变换得到满足要求的虚拟阵列输出，从而达到聚焦的效果，基于聚焦思想的算法保持了其对相干信号的处理能力。可以通过不同的方法来实现空间重采样，论述了空间重采样的基本原理以及两种不同的实现方法，并通过仿真比较了两种算法的测向性能。
中图分类号：TN911.83 文献标识码：B
文章编号：1004-373X(2008)09-145-05オ
Comparision of Two Different Methods for Spatial Resampling onWideband Signal′s DOA
TIAN Ye1,2，ZHAO Chunhui2
(1.Harbin Normal University,Harbin,150500，China;2.College of Information& Communication Engineering,
Harbin Engineering University,Harbin,150001,China)
オ
Abstract：Spatial resample is a kind of algorithm used to process wideband signals.Due to the wide band,as the different frequency the array manifold is different,that those methods we used in single frequency circumstances could not be used in wideband situations any more.In order to make the signal subspaces alike (the same is what we subject to),we receive virtual array outputs which are transferred from the inputs received by receiving array through spatial resample processing.Basing on focus algorithm,the algorithm remains the ability of handling coherent signals.There are different ways to implement spatial resample.The basic principle of spatial resample here is discussed and two different means is proposed.At last the two through emulations are compared.
Keywords：spatial resample;wide-band signal;DOA;FFT;filter
1 引 言
阵列信号处理在近几十年来得到迅速的发展。空间谱估计作为阵列信号处理的重要分支也得到了长足的发展，成为了阵列信号处理学科的重要发展方向。
宽带信号是雷达、声纳及通信中常遇到的一类特殊信号。对宽带信号的处理，在子空间思想的基础上衍生出了非相干信号子空间法(Incoherent Signal-Subspace Method)和相干信号子空间法(Coherent Signal-Subspace Method,CSM)。非相干信号的方法先将宽带信号分解成若干个窄带信号，再对于每个子带应用窄带高分辨算法进行方位估计，最后把各子带的估计结果合成为最后的宽带测向结果。这种方法的缺点是不能解相干源，而且分辨能力较低。相干信号子空间法(CSM)通过聚焦将各子带的信号聚焦到一个子空间中，使得子空间的维数等于宽带信号源的个数，从而可以使用窄带的方法进行方位估计，具有解相干的能力，而且可以显著地提高分辨率。但是这类算法中很多都需要对方向进行预估计，而且最终的测向结果很大程度上受到预估计准确性的影响。
目前对窄带信号的方位估计的算法的研究已经非常成熟，如何使得这些适用于窄带信号的成熟的算法也能用于宽带信号，从而改善宽带信号的测向性能。从宽带信号的特性可知，由于带宽较宽的缘故相对窄带的情况引入了测向模糊的问题，使得窄带的测向算法不能直接适用于宽带信号。为了利用已成熟的优良的窄带测向算法，结合宽带信号的特点，就必须对宽带信号在保证信息无损失的前提下进行一定形式的变换使之能满足窄带测向算法的要求。从而，对宽带信号应用测向算法前进行的变换处理就成为了我们研究的内容。
为了避免初始方位角的估计，文献［1］提出了广义阵列流行内插算法，引入了指向矢量的贝塞尔函数近似表达式，从而将方向矩阵变换成两部分，一部分与方向有关，一部分与频率有关，因此在求聚焦变换矩阵时不需要进行方向预估计。但是该算法在用贝塞尔函数表示指向矢量时引入了误差，而且要获得聚焦矩阵需要在每个子带内进行特征值分解运算，因此运算量很大。文献［2,3］提出了空间重采样的方法来实现聚焦，空间重采样的方法不需要方向预估计，而且降低了运算量。
本文分析了空间重采样的算法原理，并且讨论了实现空间重采样的两种不同方法，最后通过仿真实验以文献［1］提出的广义阵列流行内插算法作为参考验证了算法的有效性，并且对讨论的两种空间重采样算法的性能进行了比较。
2 信号模型
考虑由M个阵元组成的均匀线阵，各阵元间距为d,为避免相位模糊，d小于入射信号最高频率所对应波长的1/2。空间中有P个远场平面波，占有相同的带宽且为带宽与中心频率可比的宽带信号，其入射方向分别为θ1,…,θP。则第mЦ龃感器上接收到的信号可表示为：
И
xm(t)=∑Pp=1sp(t+(m－1)dsin θp/c)+nm(t)
(1)
И
其中：sp(t)为p方向入射的宽带信号，nm(t)为加性噪声,c为波的传播速度。通过DFT变换得到其窄带fkТΧ杂Φ钠涤虮泶锸轿：
xm(fk)=∑Pp=1exp(j2πfk(m－1)dsin θp/c)+nm(fk)
(2)
那么阵列的输出用矩阵的形式可表示为：
am(fk)=［1,exp(j2πdfksin θm/c),…,
exp(j(M－1)2πdfksin θm/c)］T
(5)
И
式中：c为声速,θm为第m个目标的入射角:
И
[WTHX]S[WTBX](fk)=［s1(fk)s2(fk)…sP(fk)］T
(6)
И
对宽带信号，整个带宽内被分成K个窄带，在信号与噪声相互独立的条件下，子带的协方差矩阵表示为[WTHX]R[WTBX](fk)。
И
3 空间重采样算法
由上述式(4)和式(5)可以得知，对于不同的频率会得到不同的方向矩阵，根据窄带Music算法的原理可以知道，那么对应不同频率处的信号张成的信号子空间就不同，相关信号子空间的聚焦方法就是通过将阵列的输出进行线性变换，使带宽范围内不同频率处的方向矩阵保持常数。用[WTHX]X[WTBX](fk)和[WTHX]A[WTBX](fk,a)分别表示频率为fk阵列的输出和方向矩阵，用f0表示聚焦频率，那么相关信号子空间聚焦方法就是要得到聚焦变换矩阵[WTHX]T[WTBX](fk)使得下式成立：
И
A(fk,a)=[WTHX]T[WTBX](fk)[WTHX]A[WTBX](fk,a)=[WTHX]A[WTBX](f0,a)
(8)
И
那么，宽带信号的协方差可以表示为:
И
R(f0)=∑J[]k=1[WTHX]T[WTBX](fk)[WTHX]R[WTBX](fk)[WTHX]T[WTBX]H(fk)
(9)
И
上述聚焦的思想就是通过对阵列接收到的信号进行线性变换得到相同的信号子空间，直观地说就是要使得接收到的不同频率信号得到相同的方向矩阵。基于这种思想分析式(4)可知要使得[WTHX]A[WTBX](fk)=[WTHX]A[WTBX](f0)成立，既要am(fk)=am(f0)，в墒(5)可知只要满足:
И
dfk=常数
(10)
И
就能满足聚焦算法的要求。那么阵元间距应该是频率的函数d应该是一个频率的函数，表示为d(fk)。那么有:
И
d(fk)fk=d0f0
(11)
И
则:
И
d(fk)=d0f0/fk
(12)
И
其中d0П硎菊媸嫡笤间距。
为了得到相同的方向向量，空间重采样的基本思想就是通过变换阵元间距d(fk)Ю吹玫健U媸档牟庀蛘罅姓笤间距是固定不变的，对应不同频率采用不同间距的阵列来接收也是不现实的。也就是说要通过物理的方法来得到相同的方向矩阵是不可取的，那么就需要对接收到的阵列信号用合理的方法进行处理，希望经过处理后能得到与真实阵元间距不同的虚拟阵元(对应频率为fk时阵元间距为d(fk))的输出。这样通过调整阵元间距的方法实质上与聚焦的思想是一致的，只是达到聚焦的目的与上述信号子空间方法不同。
调整阵元间距得到虚拟阵元输出可以通过不同的变换方法来得到，下面分析两种基于不同原理的变换算法：
数字滤波器的方法；
基于FFT变化的方法。
通过第4部分的仿真实验得出的结果比较了两者的测向性能。
3.1 数字滤波器的空间重采样算法
首先，建立一个空间频率的概念。我们研究均匀分布的线性阵列的情况，把同一时刻MЦ稣笤的输出假设为一离散的时间序列，那么不同的阵元间距就对应了不同的信号频率，称为空间频率。采用空间频率的概念，从空间重采样的原理来看，就是要通过一定的处理来改变空间频率。文献［2］中对频率映射滤波器(frequency-mapping filter)进行了研究。用{xn}和{yn}Х直鸨硎臼淙牒褪涑觯h(n,m)П硎韭瞬ㄆ鞯某寤飨煊Γ则可得：
И
yn=∑mh(n,m)xm
(13)
И
由Z变换和Z反变换可以得到:
И
yn=1/2πj∫X(z)Q(n,z)/zdz
可见，此时的传递函数为Е莫Ш数，对于一确定的输入而言，该滤波器将频率为Е摘ТΦ男藕乓频搅霜Е=g(φ)ТΑN颐浅普庵致瞬ㄆ魑频率映射滤波器。
从上述滤波器的原理可以看到，通过该滤波器的处理，输入信号的频率发生了变化。这样的结果正是空间重采样所需要的，将空间信号作为输入得到变换了空间频率的输出信号。空间频率的变换既是阵元间距的变换，从而得到虚拟阵列输出。用hk(n,m)表示时频fkТβ瞬ㄆ鞯某寮は煊Γ聚焦变换可以表示为：
И
x(n,fk)=∑[DD(]∞[]m=－∞[DD)]hk(n,m)x(m,fk)
(20)
И
文献［4］研究得到了使重采样绝对误差最小的理想滤波器，冲击响应为：
h0k(n,m)=1πsin(Ψk(w0n/wk－m))/(w0n/wk－m)
(21)
其中Еk=min(π,(w0/wk)π)。И
理想的重采样滤波器需要无限长的阵列，真实阵列阵元个数是有限的，文献［4］中的研究表明最佳的有限长重采样滤波器表示为
h+k(n,m):
И
h+k(n,m)=h0k(n,m),(m=－K,…,K)
(22)
И
阵元数M满足：M=2K+1。为了避免大的采样误差，输出端可选择的最大阵元数为M=2K+1，K=round(Kwl/w0)，wl和w0Х直鹞信号的最低频率和聚焦频率。
通过滤波器的处理得到虚拟阵列输出满足了聚焦的要求，因此阵列总输出可以表示为各子带加和的形式得到И
频率fk处的虚拟阵元输出[WTHX]X[WTBX]k与真实阵列输出[WTHX]X[WTBX]kе间满足以下关系： 由式(27)得到聚焦的协方差矩阵，进而可以利用窄带的方法对И[WTHX]R[WTBX]Ы行测向运算，得到阵列接收信号的方位估计。
3.2 基于FFT变换的空间重采样算法
基于FFT变换的空间重采样方法与通过频率映射滤波器的处理方法基本思想不同，但是他们都是建立在空间信号的基础上的。我们把阵元的序列对等于时间序列，与时间域相对应的有空间域的概念，从而对时域信号进行的各种处理方法同样可以用在空域信号上。
为了使得不同的频率子带对应的信号子空间相同,当子带的中心频率压缩了Е血П妒保就需将线列阵的阵元间距扩展Е血П丁N获得阵元间距不同于真实阵元间距的虚拟阵列的输出，必须对真实阵列进行插值。由采样定理可知，一个频谱受限的连续信号可以用等间隔的抽样值惟一表示，采样的间隔满足不大于1/2f┆maxАN颐墙真实均匀线列阵的输出看作是对一连续线阵的采样，只要满足采样定理，即d
为了使得虚拟阵元都分布在真实阵元内部，那么必须选择信号的最低频率作为聚焦频率，同时为了满足采样定理，真实阵元的间距应为最高频率波长的一半即1/2λ┆min。И
若要将阵元数为M，阵元间距为d的真实均匀线列阵的采样输出插值为阵元间距为Еd(ρ≤1)У男槟饩匀线列阵输出，具体方法如下：
(1) 将真实阵列的采样输出做M点FFT变换。
(2) 计算虚拟阵的阵元数D=Round(M/ρ),其中Round(•)表示取最接近于M/ρУ囊桓稣数。
(3) 将第一步中的变换结果做添值处理(增加适当的值，通常在尾部添加并于使添加的值与最后的值保持一致)，然后进行DУ愕哪FFT变换即可得到虚拟阵的输出。
(4) 从虚拟阵的DЦ鍪涑鲋腥〕隽续的MЦ鍪涑鲎魑阵列的输出(通常取中间的部分)。
对于每个子带都进行如上处理后，得到方向矩阵一致的输出，将各子带的输出加和，从而可以利用窄带的方法进行后续的测向处理。
4 仿真实验
通过仿真实验验证两种算法的可行性。为了满足空间采样定理，真实阵的阵元间距d应小于宽带信号最高频率fmax对应波长的一半，此外，为保证虚拟阵列的插值点位于真实阵列的内部,聚焦的频率应选择宽带信号最低频率fmin。
首先比较两种空间重采样的性能。设有15个阵元组成的均匀线列阵，入射信号的带宽为 75～125 Hz，相对带宽为50％，入射角度分别为25°，30°，45°，噪声为不相关的空间白噪声，第二个信号是经第一个信号延迟05 s得到的相干信号。每次估计时，信号带宽被分解为10个子带，空间信源的功率相等。由于阵元的限制要得到相对误差较小的测向结果空间重采样的方法要求取较大的快拍数k=500，在信噪比为15 dB的情况下分别进行50次独立实验，两种空间重采样方法所得谱估计结果的均值如┩1,图2所示，根据文献［1］中的阵列流形内插算法在相同条件下得到的测向结果如图3所示。[WTBZ]
图1 FFT方法方位谱
图2 滤波器方法的方位谱
测向算法的均方误差定义为各个方向上的均方误差的和的平均。从均方误差的大小上能较为直观的得到各算法的测向性能的比较。
从图1、图2和图3的比较可以看出空间重采样的算法的优越性。
在相同条件下，列出空间重采样两种算法的10次独立实验估计结果和均方误差如表1,表2所示，对比两者的测向性能。由表1,表2的比较结果可以得出FFT方法相对滤波器方法的性能更优越。
图3 阵列流形内插算法
表1 FFT方法估计结果
阵列流形内插算法中用近似计算来代替贝塞尔函数的无穷加和，为得到正确的结果应增大n值，当增大到n=-35∶35时得到如图4所示的测向结果，随着n的增大测向算法的计算量也相应增大。
5 结 语
空间重采样的方法通过对接收到的信号进行变换使得不同频率的信号得到相同的信号子空间。
这种算法也是基于聚焦的思想，其频域处理保持了对相干信号子的处理能力。因为不需要对方位进行预估计克服了一般方法对预估计角度的依赖性。正是在这方面基于FFT的空间重采样方法改善了方位估计的性能。
空间重采样算法与阵列流形内插算法相比测向性能更加优越。由文中对空间重采样算法原理的介绍可以看到基于FFT的空间重采样算法是通过对接收信号进行空间傅里叶变换来得到，而通过滤波器变换的算法由于在进行滤波器变换的时候引入了近似运算(对滤波器进行加窗处理)使得算法存在不可避免的算法误差，因此相比基于FFT的空间重采样算法的性能要差一些，而阵列流形内插算法由于贝塞尔函数的近似运算也从根本上就存在了算法误差，加之计算量较大，因此测向性能与空间重采样的方法相比要差一些。
图4 阵列流形内插算法
在空间重采样算法的应用中为了使得虚拟阵元在真实[CM(23]阵元内部须选择最低频率作为中心频率。基于FFT的空[CM)][LL]间重采样算法在进行虚拟阵元数计算时D=Round(M/ρ)可能因此引入误差，为了避免由于近似运算引入的误差就必须选择合适数量的子带使得需要增加的阵元数恰好为整数，从而可以避免近似运算引入的算法误差。同时，为了满足采样定理阵元间距必须小于最高频率信号波长的一半，降低了基阵的相对孔径，导致了其在低信噪比条件下估计信能的下降，但随信噪比的提高，其估计性能迅速提高。空间重采样宽带信号方位估计算法要得到预期的测向效果，对于阵元的选择和子带的选择有严格的要求。
参 考 文 献
［1］Doron M A,Doron E,Weiss A J.Coherent Wide-band Processing for Arbitrary Array Geometry\[J\].IEEE Trans.Signal Processing,1993(41):414-417.
［2］Krolik J,Swingler D,Focused Wide-Band Array Processing by Spatial Resampling\[J\].IEEE Trans.ASSP,1990,38(2)：356-360.
［3］朱维杰，孙进才.基于快速富式变换插值的宽带信号方位估计\[J\].声学学报.2002,27(6):513-517.
［4］Liu B,Franaszek P A.A Class of Time-Varying Digital Filters\[J\].IEEE Trans.Circuit Theory,1969,CT-16(4):467-471.
作者简介
田 野 1972年出生，1996年获哈尔滨师范大学物理教育专业学士学位，现为哈尔滨师范大学物理系讲师、哈尔滨工程大学信息与通信工程学院硕士研究生。从事专业为信号与信息处理。
赵春晖 1965年出生，1998年获哈尔滨工业大学测试计量技术及仪器专业博士学位，2000年获“全国优秀博士学位论文”。博士、教授，哈尔滨工程大学信息与通信工程学院博士生导师。从事专业为信号与信息处理。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。