基于振型叠加法的电站进水塔基础应力三维有限元分析
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【摘要】电站进水塔为水电站最常见至水工永久建筑结构，在许多长引水电站中，常采用独立岸塔式进水塔。进水塔基础应力分析是进水塔设计中比较重要的一部分。而在分析进水塔基础应力时，库区正常蓄水位时发生地震的情况乃重点关注之工况。简单的拟静力解析法计算分析基础应力仿真度不高，近年来在工程中多采用线弹性动力三维有限元法进行计算。线弹性动力有限元通过弹性力学变分原理建立动力问题有限单元表达格式――结构运动方程，在地震分析的数值解法中，可采用振型叠加法、直接积分法和振型分解反应谱法求解。对于大型复杂的进水塔模型，采用直接积分法较费时间和资源，通常可采用振型叠加法或振型分解反应谱法。本文以云南保山某电站进水塔地震工况为例，采用基于振型叠加法的线弹性动力三维有限元分析方法，对进水塔基础应力进行分析研究，为类似工程的进水塔设计提供有益思路。
【关键词】电站进水塔；基础应力；振型分解反应谱法；线弹性动力三维有限元；
1. 电站进水塔布置概况
该电站进水口采用岸塔式，底板高程1837.00m；塔顶高程为1900.00m，塔高63m。塔宽最宽处14.0m。塔前正常蓄水位EL.1895.000m，设计洪水位EL.1895.429m，校核洪水位EL.1896.301m，死水位EL.1848.000m。
地震设防烈度为8度，a=0.19g。
进水塔混凝土强度等级为C25
2. 计算荷载及工况
（1）进水口结构及设备自重
进水口自重按结构的体积计算，在大气中混凝土容重 =24KN/m3，钢筋混凝土容重 =25KN/m3。当自重效应对结构不利时作用分项系数取1.05，对结构有利时作用分项系数取0.95。
（2）静水压力
按实际水深进行计算，水的容重γ=9.8KN/m3，作用分项系数1.0。
（3）扬压力
按塔体与地基接触面处的相应水头进行计算，作用分项系数1.0，可仅考虑浮托力。
（4）浪压力
按《水工建筑物荷载设计规范》（DL 5077-1997）计算，作用分项系数1.2，本计算中未考虑。
（5）风荷载
按《水工建筑物荷载设计规范》（DL 5077-1997）计算，作用分项系数1.3，本计算中未考虑。
（6）地震作用
设防烈度为8度，a=0.19g，荷载分项系数取1.0。
（7）计算工况
正常蓄水位1895.000m运行+地震工况，荷载组合为：塔体结构自重+静水压力+扬压力+地震力
3. 计算理论及方法
线弹性动力有限元通过弹性力学变分原理建立动力问题有限单元表达格式――运动方程。动力学分析与静力学分析的主要区别是基本方程中的各参数都是时空的函数，因而方程中将有加速度、速度、初始条件，且引入质量矩阵和阻尼矩阵等内容。动力有限元法不同于静力有限元法的思想是：将结构只对空间域离散为一系列连续分布的单元，仍以单元结点位移为基本变量，由平衡方程及力的边界条件的等效积分形式的Galerkin法得到单元的运动方程，集成得结构运动方程，方程为常微分方程组，在地震分析的数值解法中，可采用振型叠加法、直接积分法和振型分解反应谱法求解。其它计算过程同静力有限元思想相同。
3.1 运动方程
形成单元阻尼矩阵和质量阻尼矩阵，以及结构运动方程，是不同于静力分析的内容，也是动力分析中的最重要部分，简述如下：
由平衡方程及力的边界条件的等效积分形式的Galerkin法得到的运动方程为：
（3.1-1）
式中：[M]―结构质量矩阵；[C]―结构阻尼矩阵；[K]―结构刚度矩阵； ―结点位移向量； ―结点速度向量； ―结点加速度向量。
结构质量矩阵[M]、阻尼矩阵[C]、刚度矩阵[K]和结点荷载向量分别由各自的单元矩阵和向量集成。
（3.1-2）
（3.1-3）
式（3.1-1）右项取地震载荷时，经过对上式变形整理可得类似方程：
（3.1-4）
式中： ―结点相对地面位移向量； ―结点相对地面速度向量； ―结点相对地面加速度向量； ―地面加速度向量。
3.2 计算方法
直接积分法是指在积分运动方程之前不进行方程形式的变换，而直接进行逐步数值积分。对于大型复杂的模型，采用直接积分法较费时间和资源，通常可采用振型叠加法或振型分解反应谱法。振型叠加法是在积分运动方程以前，对自由振动方程进行模态分析，获得结构的固有振型和固有频率，利用系统自由振动的固有振型将方程组转换为n个不相互耦合的方程，对这种方程可以解析或数值地进行积分。对时间历程较长，只需少数较低阶振型的结果时，振型叠加法是十分有效的。
地震分析中，由于其偶然性和地域性特点，荷载随时间变化很难确定。因此，在振型叠加法基础上，引入多因素决定的具统计性的地震荷载――地震作用反应谱，按各固有频率在对应反应谱荷载下的作用效应叠加，得到结构的总作用效应，这种分析方法在工程上很实用，应用广泛。
用振型叠加法和振型分解反应谱法求解运动方程，都先要进行模态分析，求解自由振动方程的特征值和特征向量，得到结构的固有频率和固有振型。自由振动方程如（3.2-1）式，结构的阻尼对固有频率和固有周期的影响很小，可不考虑其影响，通常可采用（3.2-2）式进行模态分析，其解的形式如（3.2-3）式。
（3.2-1）
（3.2-2）
（3.2-3）
式中： ―第i阶自振频率； ―对应的振型向量； ―结点位移向量，t0―由初始条件确定的时间常数。
由于固有振型对质量矩阵[M]和刚度矩阵[K]都具有正交性，引入变换
（3.2-4）
代入到运动方程中得到n个相互不耦合的二阶常微分方程：
（3.2-5）
每个方程相当于一个单自由度系统的振动方程，可以较方便地采用数值积分求解。在得到每个振型的响应后，按（3.2-4）式将他们叠加起来，就得到系统的响应。
4. 计算模型与假定
4.1 计算范围
本文塔体建模所取计算范围为：底部混凝土建基面高程0.000m、顶部高程63m；上游桩号引0-036.300m、下游桩号引0+000.000m。另外，为了考虑岩石基础对进水塔结构变形的影响，根据一般工程经验及本工程实际情况，计算基础沿进水塔结构长度向上下游侧及左右两侧均延长约一倍的塔体高度（约60m）；在深度方向取建基面以下60.000m，即至结构建基面以下高程-60.000m（详见图4.1-1）。
4.2 有限元模型
进水口混凝土结构以及基础岩石主要采用三维8节点等参实体单元模拟，栅墩处的连系梁采用三维2节点梁单元进行模拟。
整个计算模型规模如下：静力计算模型共包括单元260784个，节点148374个。另外，动力分析中还用到质量单元12527个。
整体计算模型详见图4.2-1，进水口结构模型见图4.2-2，其中，图中颜色代表不同材料类型。
图4.2-1 进水口结构与基岩有限元整体计算模型
图4.2-2 进水口混凝土结构有限元计算模型
4.3 计算参数
计算中考虑材料的率相关性，根据抗震规范，取材料的动态弹性模量为1.3倍静态弹性模量，材料的动态强度提高至静态强度的1.3倍，材料的静态物理参数见2.4节。水平向地震加速度峰值为0.19g，铅直向地震加速度取水平向地震加速度的2/3。结构的阻尼比取为5%，地震效应影响不超过5%的高阶振型忽略不计，反应谱值及其它动力参数按规范相关条款考虑。根据场地类别，特征周期取为0.2s，设计反映谱最大值 ，顺河向反应谱曲线见图4.3-1。
图4.3-1 顺河向地震反应谱曲线
4.4 计算假定以及边界条件说明
计算假定：计算过程中，进水塔结构闸门启闭机不予考虑，简化成荷载作用于相应位置。闸门也不予考虑，其重量简化成荷载作用在结构相应位置。混凝土结构和基岩均按各向同性弹性材料考虑；混凝土假定为不透水体边界，外水压力、内水压力和扬压力均只作用在相关结构面上。
边界条件：在计算中，基岩的上、下游端面和左、右两侧及底部按法向连杆模拟，进水口结构其它表面按自由边界考虑。
5. 进水塔基础应力计算成果及结论
图5-1 建基面基岩铅直向应力σy /MPa
图5-2 建基面基岩剪应力τxy /MPa
建基面围岩的应力状态，是衡量进水塔体稳定的重要参考，尤其是铅直向的应力状态和水流向的剪应力状态。因此本节以对建基面围岩的铅直向应力σy和水流向剪应力τxy展开分析，详见图5-1～图5-2。
从图5-1可以看出，建基面围岩出现一定范围的拉应力区域，拉应力最大值为1.204MPa；从图5-2可以看出，建基面围岩出现了一定数值的水流向的剪应力τxy，最大为1.321MPa。
建基面前缘未出现拉应力，进水塔结构设计满足国家相关规范要求。
从上述计算分析过程可以看出，在进行进水塔基础应力分析研究时，采用本文所述基于振型叠加法的线弹性动力三维有限元分析方法，能全面直观的反映出建基面各个部位的应力分布情况，这对进水塔结构及配筋设计大有裨益，能为此类进水塔基础应力分析提供有益思路。