三角形考点归类

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三角形在全国各地中考中占有非常大的比例，约占总分值的20%.对于三角形的考查，是历年中考中的重头戏.如何顺利地把这一部分分数收入囊中，是广大师生所关注的问题.进行中考复习时，学生应该熟悉各个知识点，熟悉各个考点，熟悉各种解题方法，刻苦训练，在打好基础的同时，善于归纳总结，类比创新，不断提升自己的学习能力，才能在中考中游刃有余，取得理想的成绩.现将三角形一章的相关知识点、考点、典型例题、重要解题方法和数学思想方法进行如下总结，希望对备考师生有所帮助.

考点一三角形三条边之间的关系

例1（2015・崇左）如果一个三角形的两边长分别为2和5，则第三边长可能是（）

A.2B.3

C.5D.8

分析：设ABC的三边长满足分别为a，b，c且a>b，则a-b

解：这个三角形的第三边c的长满足5-2

点评：已知三角形的两条边长，求第三边，根据“三角形两边之和大于第三边”和“三角形两边之差小于第三边”，可得“三角形的第三边大于两边之差且小于两边之和”，从而先求出第三边的范围，然后作出选择.

例2（2015・南通）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A.5，6，10B.5，6，11

C.3，4，8D.4a，4a，8a（a>0）

分析：根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可.

解：10-5

11-5=6，三条线段不能构成三角形.故选项B错误.

3+4=7

4a+4a=8a，三条线段不能构成三角形.故选项D错误.故选A.

点评：本题考查的是三角形的三边关系，熟知“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解答此题的关键.

例3（2015・巴中）若a，b，c为三角形的三边，且a，b满足a2-9+（b-2）2=0，则第三边c的取值范围是.

分析：根据非负数的性质列式，求出a，b，再根据“三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”求解即可.

解：由题意，得a2-9=0，b-2=0.解得a=±3，b=2.a>0，a=3.3-2=1，3+2=5，1

点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时这几个非负数都为0.本题还考查了三角形的三边之间的关系.

考点二三角形的内角和外角

例4（2015・滨州）在ABC中，∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则∠C等于（）

A.45°B.60°

C.75°D.90°

分析：首先根据∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，求出∠C的度数占三角形的内角和的几分之几，然后根据分数乘法的意义，求出∠C等于多少度即可.

解：180°×53+4+5=180°×512=75°，即∠C等于75°.故选C.

点评：此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是三角形的内角和是180°.

例5（2015・昆明）如图1，在ABC中，∠B=40°，过点C作CD∥AB，∠ACD=65°，则∠ACB的度数为（）

A.60°B.65°

C.70°D.75°

分析：首先根据CD∥AB，可得∠A=∠ACD=65°；然后在ABC中，根据三角形的内角和定理，求出∠ACB的度数为多少即可.

解：CD∥AB，∠A=∠ACD=65°.∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-65°-40°=75°，即∠ACB的度数为75°.故选D.

点评：此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握.解答此题的关键是要明确：（1）定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.（2）定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补.（3）定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.此题还考查了三角形的内角和定理.

例6（2015・桂林）如图2，在ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD的度数是（）

A.110°B.120°

C.130°D.140°

分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.

解：由三角形的外角性质，得∠ABD=∠A+∠C=50°+70°=120°.故选B.

点评：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，比较简单.

例7（2015・枣庄）如图3，平面上直线a，b分别经过线段OK两端点，则a，b相交所成的锐角是.

分析：构造三角形，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”得出结论.

解：如图4，延长a，b交于点A.由三角形的外角性质，得a，b相交所成的锐角的度数是100°-70°=30°.故答案为30°.

点评：本题考查了“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的性质，熟记性质是解题的关键.

考点三三角形中的重要线段

例8（2015・永州）如图5，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得SPAB=SPCD，则满足此条件的点P（）

A.有且只有1个

点评：本题考查了三角形中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等知识，用到的知识点为：（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（2）三角形的中位线等于对应边的一半.

例14（2015・盐城）如图11，点D，E，F分别是ABC各边的中点，连接DE，EF，DF.若ABC的周长为10，则DEF的周长为.

分析：由于D，E分别是AB，BC的中点，则DE是ABC的中位线，那么DE=12AC，同理EF=12AB，DF=12BC，于是易求DEF的周长.

解：如图11，D，E分别是AB，BC的中点，DE是ABC的中位线.DE=12AC.同理有EF=12AB，DF=12BC.DEF的周长=12（AC+BC+AB）=12×10=5.故答案为5.

点评：本题考查了三角形的中位线定理.解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系.

考点五等腰三角形和等边三角形

例15（2015・湖北）如图12，在ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB.若BE=2，则AE的长为（）

A.3B.1

C.2D.2

分析：先根据线段垂直平分线的性质得出BE=CE=2，故可得出∠B=∠DCE=30°，再由角平分线定义得出∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，利用三角形内角和定理求出∠A=180°-∠B-∠ACB=90°，然后在RtCAE中根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AE=12CE=1.

解：在ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，BE=2，CE=BE=2.

∠B=∠DCE=30°.CE平分∠ACB，∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°.

∠A=180°-∠B-∠ACB=90°.

在RtCAE中，∠A=90°，∠ACE=30°，CE=2，

AE=12CE=1.故选B.

点评：本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线定义及三角形内角和定理.

例16（2015・滨州）若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（）

A.2B.22-2

C.2-2D.2-2

分析：由于直角三角形的外接圆半径是斜边的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜边长，进而可求得两条直角边的长，然后根据直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径的长.

解：等腰直角三角形外接圆半径为2，此直角三角形的斜边长为4，两条直角边分别为22.它的内切圆半径为r=12（22+22-4）=22-2.故选B.

点评：本题考查了三角形的外接圆和三角形的内切圆，等腰直角三角形的性质，要注意直角三角形内切圆半径与外接圆半径的区别.直角三角形的内切圆半径r=12（a+b-c）（a，b为直角边，c为斜边），直角三角形的外接圆半径R=12c.

例17（2015・温州）如图13，点A的坐标是（2，0），ABO是等边三角形，点B在第一象限.若反比例函数y=kx的图象经过点B，则k的值是（）

A.1B.2

C.3D.23

分析：首先过点B作BCOA于C.根据AO=2，ABO是等边三角形，得出点B的坐标，进而求出反比例函数解析式.

解：过点A作BCOA于C.点A的坐标是（2，0），AO=2.ABO是等边三角形，OC=1，BC=3.点B的坐标是（1，3）.把B（1，3）代入y=kx，得k=3.故选C.

点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用、等边三角形的性质以及图象上点的坐标特点等知识，根据已知表示出点B的坐标是解题的关键.

例18（2015・营口）如图14，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和N分别是射线OA和射线OB上的动点，PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）

A.25°B.30°

C.35°D.40°

分析：分别作点P关于OA，OB的对称点D，C，连接CD，分别交OA，OB于点M，N，连接OC，OD，PM，PN.由对称的性质得出PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB.进而得出∠AOB=12∠COD.再证OCD是等边三角形，可得∠COD=60°，即可得出结果.

解：如图15，分别作点P关于OA，OB的对称点D，C，连接CD，分别交OA，OB于点M，N，连接OC，OD，PM，PN.点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA.点P关于OB的对称点为C，PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB.OC=OP=OD，∠AOB=12∠COD.PMN周长的最小值是5cm，PM+PN+MN=5cm.DM+CN+MN=5cm，即CD=OP=5cm.OC=OD=CD，即OCD是等边三角形.∠COD=60°.∠AOB=30°.故选B.

点评：本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质.熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决本题的关键.

例19（2015・昆明）如图16，ABC是等边三角形，高AD，BE相交于点H，BC=43，在BE上截取BG=2，以GE为边作等边GEF，则ABH与GEF重叠（阴影）部分的面积为.

分析：根据等边三角形的性质，得AD的长，∠ABG=∠HBD=30°；根据等边三角形的判定，得MEH的形状；根据直角三角形的判定，可得FIN的形状；根据面积的和差，求出答案.

解：如图16，ABC是等边三角形，高AD，BE相交于点H，BC=43，AD=BE=32BC=6，∠ABG=∠HBD=30°.∠BHD=90°-∠HBD=60°.∠MHE=∠BHD=60°.BG=2，EG=BE-BG=6-2=4.以GE为边作等边GEF分别交AD，AB于M，I，N，得FG=EG=4，∠EGF=∠GEF=60°，MHE是等边三角形.SABC=12AC・BE=12AC×3EH，EH=13BE=13×6=2.∠BIG=∠FGE-∠IBG=60°-30°=30°，∠IBG=∠BIG=30°.IG=BG=2.IF=FG-IG=4-2=2.∠FIN+∠F=90°，∠FNI=90°.又∠FIN=∠BIG=30°.FN=1，IN=3.S五边形NIGHM=SEFG-SEMH-SFIN=34×42-34×22-12×3×1=532.故答案为532.

点评：本题考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形的判定.利用图形的割补法是求面积的关键.

考点六中考多解题

例20（2015・营口）【问题探究】

（1）如图17，锐角ABC中分别以AB，AC为边向外作等腰ABE和等腰ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由；

【深入探究】

（2）如图18，四边形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的长；

（3）如图19，在（2）的条件下，当ACD在线段AC的左侧时，求BD的长.

分析：（1）首先根据等式的性质证明∠EAC=∠BAD，则根据“SAS”即可证EAC≌BAD，根据全等三角形的性质即可证明；（2）在ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，连接EA，EB，EC，证明EAC≌BAD，证明BD=CE，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解；（3）在线段AC的右侧过点A作AEAB于A，交BC的延长线于E，证明EAC≌BAD，可得BD=CE，即可求解.

解：（1）BD=CE.理由如下：∠BAE=∠CAD，∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD.在EAC和BAD中，

AE=AB，

∠EAC=∠BAD，

AC=AD，EAC≌BAD.BD=CE.

（2）如图20，在ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，连接EA，EB，EC.∠ACD=∠ADC=45°，AC=AD，∠CAD=90°.∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD.在EAC和BAD中，AE=AB，

∠EAC=∠BAD，

AC=AD，

EAC≌BAD.BD=CE.AE=AB=7BE=72+72=72，∠AEC=∠AEB=45°.又∠ABC=45°，∠ABC+∠ABE=45°+45°=90°.EC=BE2+BC2=（72）2+32=107.BD=CE=107.

（3）如图21，在线段AC的右侧过点A作AEAB于A，交BC的延长线于点E，连接BE.AEAB，∠BAE=90°.又∠ABC=45°，∠E=∠ABC=45°.AE=AB=7，BE=72+72=72.又∠ACD=∠ADC=45°，∠BAE=∠DAC=90°.∠BAE-∠BAC=∠DAC-∠BAC，即∠EAC=∠BAD.在EAC和BAD中，AE=AB，

∠EAC=∠BAD，

AC=AD，EAC≌BAD.BD=CE.BC=3，BD=CE=（72-3）cm.

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正确理解三个题目之间的联系，构造（1）中的全等三角形是解决本题的关键.