数形结合在高考选择、填空题中的应用举例

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“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞，数缺形时少直观，形少数时难入微.”在这首诗中华罗庚先生指出了数与形相互之间的关系，揭示了数形结合思想方法的本质和重要性.数形结合思想是中学数学中七个常用基本思想方法之一，在高考数学试题中，数形结合的渗透是方方面面.题目主要出现在集合、函数、导数、解析几何及不等式最值等题目上，把图象作为工具、载体，不仅可以直观，而且易于寻找解题的途径和突破口，以此寻求解题思路或制定解题方案，能避免繁杂的计算和推理，简化解题过程，尤其在解选择或填空题时其优越性更加突出.

从近年高考课标卷来看，对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思维品质和数学技能的考查，是课标课程高考明确的一个命题方向.本文从五方面结合2013年相关高考试题谈谈数形结合思想方法在解选择或填空题时的应用.

解析 因为A={x | x2}，利用数轴非常直观的得出答案A∪B= R，故选答案B.

点评 不等式型集合的交、并、补通常可以利用数轴直观进行，有时解题还要注意验证区间端点是否符合题意.

点评 本题如果直接计算，涉及到弦长公式、点到直线距离公式以及求最大值等问题，运算繁琐，得不偿失.此题运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程，从而能极大的提高解题效率.

点评 本题本质上是把方程实根的个数转化为两个函数的图象交点个数，体现了转化与化归思想、数形结合思想，本题考查了函数的极值点、方程的根、函数与导数的关系，综合了二次函数的基本性质等，难度比较大，综合性很强，对考生的能力要求非常高.一般从“形”入手更为直观，利用其图象特征，就可以找到解题思路，利用图象进行分析.当然不是只用图象解出，还需相应的数学具体变形与运算，这样才体现数形结合，争取做到胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野.

数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.总而言之，数形结合思想方法的应用是有条件的，若问题所涉及的“数”具有“形”的特征，或“形”具有“数或式”的特征，则可以应用数形结合的思想方法解之，当然这种特征要依赖于基本的数学知识和数学概念，依赖于良好的思维品质和一定想像力这一前提.

《考纲》指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”， 数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能.从目前高考“重视思想方法，注重通法，淡化技巧”的命题原则来看，我们在教学上要更加重视学生在数形结合的思想方法上的训练.