数形结合法解题例说

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所谓数形结合，一般是指把抽象的数学语言（文字、符号、式子）与直观的图形结合起来进行思考，通过“以形助数”或“以数助形”，使抽象问题直观化、复杂问题简单化. 数形结合是抽象思维与形象思维的融合， 是数与形的辩证统一.数形结合法是历年高考重点考查的内容之一，下面举例介绍.

1 . 处理集合问题.

例1. 设A=[-2，4），B={x|x2-ax-4≤0}，若B？哿A，则实数a的取值范围是（ ）

A.[-1，2） B. [-1，2]

C.[0，3] D.[0，3）

解析：令f（x）=x2-ax-4，显然此抛物线与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0）.按B？哿A的要求，抛物线的位置应该是如图1，于是f（-2）≥0，f（4）>0，即（-2）2-a（-2）-4≥0，42-4a-4>0， 解得0≤a

点评： 集合可以表示数轴上的点、线、函数的图像、平面上的曲线或区域等等，此时，如果能根据集合代表的对象画出相应的图形，利用图形的位置关系得到代数关系，往往能顺利解题， 整个过程是“数形数”.这里从集合B中的条件， 联想到它对应的抛物线，使集合间的关系直观化，相应的代数关系则随之确定，避免了解繁杂的含参数的不等式组.

牛刀小试1：设a≥-2，且A={x|-2≤x≤a}，B={y|y=2x+3，x∈A}，C={z|z=x2，x∈A}，C？哿B， 求a实数的取值范围.（答案：≤a≤3）

2. 处理逻辑问题.

例2. 命题P：若x，y∈R，则x+y>1是x+y>1的充分不必要条件. 命题：函数y=的定义域是（-∞，-1]∪[3，+∞），则（ ）

A.“P或Q”为假 B.“P且Q”为真

C. P真Q假 D. P假Q真

解析：分别在同一直角坐标系中画出|x|+|y|>1和|x+y|>1所表示的区域，前者是如图2中正方形外的部分，而后者是直线x+y=1的右上方与x+y=-1的左下方.显然由|x+y|>1能推出|x|+|y|>1，而由|x|+|y|>1不能推出|x+y|>1，故|x|+|y|>1是|x+y|>1的必要不充分条件， 命题P是假命题. 不难得到Q为真命题，故选D.

点评：若所求问题中的结构式含有明显的几何意义，比如a2+b2可看作点（a，b）到原点距离的平方，可看作过两点（x1，y1）和（x2，y2）的直线的斜率），

|x|+|y|>a（a>0）时是封闭正方形的外部区域，|x|+|y|≤a（a>0）是封闭正方形的内部区域（含边界）等等，则利用它们的几何意义解决问题就非常简便.

牛刀小试2：已知实数a，b满足a+2b+10，b>0，则的取值范围是 . （答案：

3. 处理单调性问题.

例3. 设函数f（x）=-x2+4x-10，（x≤2）log2（x-1）-6，（x>2）若f（6-a2）>f（5a），则实数a的取值范围是 .

解析：首先画出分段函数的图像（如图3），观察其单调性.由此可知，函数f（x）在R上单增.于是由f（6-a2）>f（5a）可得：6-a2>5a，-6

点评：我们知道，若函数f（x）在区间D上为增函数，x1，x2∈D，且f（x1）

牛刀小试3：设函数f（x）=-x2+6x+e2-5e-2，（x≤e）x-2lnx， （x>e）若f（6-a2）>f（a），则实数a的取值范围是 .

（答案：-3

4. 处理最值问题.

例4. 若不等式m}，求m实数的最小值.

解析：设y=，则y2=2（x+）（y≥0），该函数的图像是抛物线y2=2（x+）在x轴上方的部分.再设y=x+a，其图像是一条直线. 在同一坐标系中画出两个函数的图像（如图4所示）.

由图像可知，当直线y=x+a经过抛物线的顶点

（-，0）时，不等式的解集是{x|x>m}的形式，且m的值最小，把（-，0）代入y=x+a得a=，由y=，y=x+，解得x=-或，所以m的最小值为.

点评：将不等式问题转化为函数问题，然后运用函数的图像解答，直观明了，简单快捷.

牛刀小试4：若曲线y=与直线y=x+b有公共点，求实数b的最大值.（答案：3）

5. 处理恒成立问题.

例5. 已知a>0且a≠1，f（x）=x2-ax.不等式f（x）

解析：f（x）

令P（x）=x2-，Q（x）=ax.在同一坐标系下，作出函数P（x）=x2-，Q（x）=ax的图像（如图5所示），则有a>1，Q（-1）≥p（-1）或0

点评： 本题中的f（x）

牛刀小试5：若x∈（1，2）时，不等式（x-1）2

6. 处理向量问题.

例6. 如图6，在OAB中，点P是线段OB、AB的延长线所围成的阴影区域（含边界）内任意一点，且=x+y，则在直角平面内，求实数对（x，y）所示的区域在直线y=4下方部分的面积.

解析：（1）当P点在线段AB或其延长线上时， 实数对（x，y）有什么特征？

如图6，设交直线AB于E，=x1+y1，=？姿，？姿≥1.由三点共线的充要条件知x1+y1=1， 则x=？姿x1，y=？姿y1，x+y=？姿（x1+y1）≥1.这表明对于直线AB右上方或直线AB上的点P都有x+y≥1.

（2）从=x+y，考虑对分解.

如图7， 根据向量加法的平行四边形法则可知，是平行四边形CODP的对角线，A，O，C三点共线， O，B，D三点共线.于是x≤0，且y≥1.结合“直线y=4的下方”便得到线性约束条件x+y≥1，x≤0，y≥1，y≤4，可行域如图8所示，于是所求的面积是×3×3=.

点评：本题以向量为载体，打破了过去传统的线性规划题型，具有结构新、背景新、解法新的特点，能有效考查考生的思维水平和综合能力. 解题的关键是能由图形的位置变化确定实数对（x，y）满足的线性约束条件，显然是“以形助数”的过程.

牛刀小试6：如图，OM∥AB ，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且=x+y，则x的取值范围是______； 当x=-时， y的取值范围是______. （答案： x

7. 处理新定义问题.

例7. 对实数a与b，定义新运算“？茚”： a？茚b=a，a-b≤1b，a-b>1设函数f（x）=（x2-2）？茚（x-x2），x∈R.若函数y=f（x）-c的图像与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（ ）

A. （-∞，-2]∪（-1，） B. （-∞，-2]∪（-1，-）

C. （-∞，）∪（，+∞） D.（-1，-）∪[，+∞）

解析：由题意知，若x2-2-（x-x2）≤1，即-1≤x≤时，f（x）=x2-2；当x2-2-（x-x2）>1，即x时，f（x）=x-x2要使函数y=f（x）-c的图像与x轴恰有两个公共点，只须方程f（x）-c=0有两个不相等的实数根即可，即函数y=f（x）的图像与直线y=c有两个不同的交点即可.

画出函数y=f（x）的图像（如图9）与直线y=c，不难得出答案B正确.

点评：本题是定义新函数问题，主要考查考生阅读、理解、迁移新知识的能力.突破了常规题型， 具有立意新、背景新的特点. “以形助数”是解题的关键. 在高等数学与高中数学的知识交汇处命题是近几年高考命题的一种新趋势， 其中定义新函数题属高频考点， 并常常置于选择题或填空题靠后的位置，成为高考试卷的亮点，复习中要引起重视.

牛刀小试7：对实数a与b ，定义新运算“？茚”： a？茚b=a，a-b≤1b，a-b>1设函数f（x）=（x2-2）？茚（x-x2），x∈R.若函数y=f（x）-c的图像与x轴没有公共点，则实数c的取值范围是 .（答案：c>）

以上介绍了数形结合法的七种应用，例题和练习题都很好地体现了数形结合法的基本思想和解题方法. 解题的原则是减少过程、提高速度，解题的关键是根据试题的特点，灵活选择相应的方法：“数形”“形数”“数形数”“形数形”. 通过练习可以深化感悟，把握本质.

（作者单位：安徽省太湖中学）

责任编校 徐国坚