一种3―RPS并联机构的运动学方法研究
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[摘 要]针对空间三自由度3-PRS并联机构具有支链数目少、承载能力大等特点，对3-RP S并联机器人机构进行设计和运动分析，利用solidworks软件建立并联机器人机构的三维模型，采用机构解析法求得三自由度并联机器人机构的运动学逆解，基于matlab simmechanics模块中的运动学分析方法，实现对机构系统进行设计与动态性能分析。分析结果表明，设计的并联机构的精度高，累积误差小，且运用的方法验证了机构逆解的正确性，并实现实时分析和机构运动状态的模拟显示。
[关键词]3-RPS并联机构；运动学逆解；实时分析
中图分类号：TH113.22 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2016）21-0178-03
Design and Kinematics Analysis of 3-RPS Parallel Mechanism
Xie Chang-Gui1，Zeng Hai2
（1. College of Mechanical Engineering，Chongqing Institute of Engineering， Chongqing， 402260；2. State Key Lab of Mechanical Transmissions， Chongqing University， Chongqing 400044）
[Abstract]The space three freedom degrees of 3-PRS parallel mechanism has the advantages of low number of branched chain， great bearing capacity， the design and motion analysis of 3-RPS robot parallel mechanism was carried out， three-dimensional model of robot parallel mechanism was established by solidworks software， the kinematics inverse solution of three freedom degrees of robot parallel mechanism was obtained by institutional analytical method， the kinematics analysis methods based on matlab simmechanics module， realize the system design and the dynamic performance analysis. The simulation results show that the design of the parallel mechanism is high precision of， and the cumulative error is small， and the method can verify the correctness of the inverse solution， and realize real-time analysis and analog display mechanism motion state.
[Key words]3-RPS parallel mechanism； inverse kinematics； real-time analysis
0、引言
并联机器人具有刚度高、承载能力大、结构紧凑等优点，已成为机构学研究的一个重要方向，被广泛应用在工业成产中。3-RPS并联机构作为并联机器人中的重要部件，近年来受到众多研究者的高度重视。
国内外众多学者对并联机器人中的3-RPS并联机构及其相关的并联机构进行了大量的研究。朱大昌于2014年利用环路方程法推导了3-RPS三自由度并联机构的一阶、二阶影响系数表达式，对3-RPS并联机构运动学分析与仿真[1]；叶勇以虚功原理为基础，利用CAD变量几何法对并联机构静力学进行分析[2]；余联庆对3-RPS并联机构及其轨迹规划与仿真[3-6]，然而上述方法在解决3-RPS并联机构的运动学的精度方面还存在不足之处。本文结合并联机构的结构和约束特点，建立了3-RP S并联机器人机构平台的三个独立坐标与三个非独立坐标之间的约束方程式，从而推导出了机构的旋转平移变换矩阵。该方法的核心思想为采用机构解析法求得三自由度并联机器人机构的运动学逆解，然后基于matlab simmechanics模块中的运动学分析方法，从而实现对机构系统进行创新设计及提高其动态性能，解决了传统方法在并联机构运动中的精度不足问题。
1、3-RPS并联机构运动平台
3-RPS并联机构平台由运动平台、固定平台及连接两平台的三个分支组成，其具体组成如图1所示。3-RPS并联机构平台中的三个分支与动平台相联的运动副为球面副，与固定平台相联的运动副为转动副，在转动副与球面副之间为一移动副，该移动副作为机构的三个驱动副。确定操作平台位姿的参数有六个，但其中只有三个参数是独立的，而另外三个是非独立的。
由图1可得，求解并联机构自由度的计算公式为：
式中：为构件数；为低运动副数目；为高运动副数目。
对于本文研究的机构而言，式（1）中，，，故可以得到该机构的自由度数。
该实验平台控制系统结构如图2所示。PC机利用以太网和Trio运动控制器通信连接，发送运动命令，Trio运动控制器利用ETHERCAT总线和三个驱动器进行通信连接，三个驱动器驱动三个电动缸，进而让该并联机构达到预定姿态。同时，利用高精度倾角传感器测量动平台的实际位置和姿态，将实际值反馈给PC机，PC机将实际值与理论值进行比较，得到一个差值。利用PID算法对差值进行补偿，这样就完成了控制。
2、并联机构逆运动学分析
如图3所示为3-RPS并联机构简图，根据图3可以得到，该机构固定平台和动平台分别建立了X-O-Y和x-o-y坐标系，A1、A2、A3和p1、p2、p3组成两个等边三角形，固定平台和动平台的两个等边三角形的外接圆的半径分别为R和r，初始状态下固定平台与动平台之间的垂直高度为h，R、r是固定值，分别为256mm和146mm，h的初始值为505mm。
当旋转平移变换后的动平台的三个动坐标在固定坐标中的坐标表达式：
其中，；、、分别为动平台的三个铰点在平台平移和旋转后的空间位置坐标；、、分别为平台三个铰点相对于动平台原点o的空间坐标；R为旋转变换矩阵；、、为沿x、y、z轴平移量。
设运动平台的目标移动值为：沿x、y、z轴分别平移、、距离，且按顺序绕x、y、z轴旋转A、B、C角度，则有R=R（z，C） R（y，B） R（x，A）。则可以的到旋转变换矩阵R为：
对三自由度并联平台机构而言，由于固定平台的三个支点均为一个自由度的销铀副，故三个支撑伸缩杆只能分别在经、、直线且垂直于下台基的三个平面内作各自绕点的旋转运动。说明，当三自由度并联运动平台作空间位置姿态的变化运动时，上平台三铰点、、的空间坐标值分别受到一定的约束，其约束条件为：
根据式（6）可以得到，、、都是在动平台绕x轴和y轴旋转的时候产生的位移和角度，它们不是独立的运动，所以该机构只有绕x轴和y轴旋转以及绕z轴升降三个独立的自由度，从而可以求出三个移动副的杆长值。设、、分别为三个移动副的杆长值，则可以得到，三个移动副的杆长值为：
3、3-RPS并联机构仿真分析
simmechanics提供了大量对应实际系统的元件，如刚体、铰链、约束与传感器等。使用这些模块可以方便的建立复杂机械系统的图示化模型，进行机械系统的单独分析或与任何simulink设计的控制器及其它动态系统相连进行综合仿真。
本文采用simmechanics方框图添加驱动Actuator和传感器Sensor，然后添加示波器Scope观察并联机构的运动轨迹。基于simmechanics的控制框图如图4所示。
基于上述思路，将3-RPS并联机构的solidworks三维模型转换为simmechanics模型之后的可视化模型，运行之后的可视化效果如图5所示。
在simmechanics中，所有的刚体的重心都向刚体的中心点靠拢，故在simmechanics中并联机构的刚体均为椭圆形。
4、3-RPS并联机构实验验证
通过对3-RPS并联机构进行运动学分析从而得到机构逆解，利用Trio运动控制器的Motion Perfect软件对其进行编程，如图6所示。Trio运动控制器控制三个伺服电动缸的运动，并利用动平台的倾角传感器检测实际动平台的姿态，以便和理论上动平台的姿态进行比较。实验结果如表1所示，表1中A、B分别表示绕x轴和y轴旋转的角度，A、B为正值时分别表示绕x轴和y轴顺时针旋转，反之表示绕x轴和y轴逆时针旋转，L1、L2、L3所在的三个电动缸的行程均为0-150mm。由表1可知，理论数据与实验数比较吻合，说明并联机构理论值与实验值比较接近，设计的机构运动的精度高，累积误差小。
5、结论
通过对3-RPS并联机构建立适当的坐标系，并对该并联机构进行运动学分析，得到该并联机构的逆解。采用matlab simmechanics模块，将solidworks建立的3-RPS并联机构三维模型导入进行仿真分析，并进行动态显示；然后根据机构逆解在Trio运动控制器上进行编程，通过Trio运动控制器控制动平台与静平台之间的三个电动缸，使动平台达到指定的姿态；最后利用动平台的倾角传感器测出实际的姿态，与理论姿态进行对比，形成闭环控制系统。仿真结果表明，本文设计的3-RPS并联机构具有精度高，累积误差小的优点，且本文采用的方法验证了机构逆解的正确性，并实现实时分析与机构运动状态的模拟显示。
参考文献
[1] 朱大昌.基于影响系数3-RPS并联机构运动学分析与仿真[J].机械传动，2014，38（3）：76-79.
[2] 叶勇.基于CAD变量几何法的并联机构静力学分析[J].机械传动，2012，36（08）：57-60.
[3] 余联庆，梅顺齐，张智明.3-RPS并联机构及其轨迹规划与仿真[J]. 数控加工技术，2005（9）：30-32.
[4] ，杨兰松，郭辉.3-RPS型并联机器人的运动学及动力学分析[J].机械设计与制造，2007（3）：120-122.
[5] 张兆印.六自由度并联机器人的运动学分析[J].黑龙江大学（自然科学学报），1992，9（2）：52-57.
[6] 方跃法，黄真.三自由度3-RPS并联机器人机构的运动分析[J].机械科学与技术，1997，16（1）：82-88.
[7] 谢平，杜义浩， 田培涛，等.一种并联机器人误差综合补偿方法[J].机械工程学报，2012，9：43-46.
[8] Lee K-M，Shah D.Kinematic analysis of a three-degree-of-freedom in-parallel act uated manipulat or .IEEE J. o f Robotics and Automation， 1988， 4（2）：354～360.
作者简介
谢长贵（1984-），男，重庆工程职业技术学院讲师、博士，主要从事信号处理、设备故障诊断等方面的研究。
基金项目
光学元件缺陷模型宏观描述方法研究；国家自然科学基金委员会与中国工程物理研究院联合基金资助（10976034）.1。