数形结合在初等数学中的应用

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摘 要：数形结合思想是一种应用十分广泛并且非常重要的数学思想。数形结合思想的实质是把图形的直观性和数学语言的抽象性有机地结合在一起，关键是直观图形与代数问题的相互转化。同时，数形结合思想的应用能够促进学习兴趣，提高思维能力和数学素养。

关键词：数形结合； 函数； 不等式； 方程

中图分类号：G633．6 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2012）02-012-001

一、在一些方程问题和函数问题中数形结合的巧妙应用

二、在一些绝对值问题中的巧妙应用

例2试求出方程x-1-y-1=1所确定的曲线围成的图形的周长。

解:(1)当x≤1，y≤1时有：-(x-1)-(y-1)=1 y=-x+1

(2)当x≤1，y≥1时有：-(x-1)+(y-1)=1 y=x+1

(3)当x≥1，y≥1时有：x-1+(y-1)=1 y=-x+3

(4)当x≥1，y≤1时有：x-1+(y+1)=1 y=x-1

分析：由x的取值范围去掉绝对值符号，将方程转化为函数，通过图像可以看出所求图形的形状为正方形。

例3已知对于全体实数，不等式x-1-x+1＞m是恒成立的，试求出实数m的取值范围。

解：x+1的几何意义，即是数轴上点x和点(-1)之间的距离；x-1的几何意义，即是数轴上点x和点1之间的距离；数轴上点x和点1之间的距离与点和点之间的距离的和的最小值为2，即x-1-x+1≥2；因此实数的范围是：m＜2。

三、在一些不等式问题中的巧妙应用

分析：本题中所给的代数式的形式，类似于勾股定理的形式。画出如下图形，利用数形结合，使问题变得直观易懂。

四、在一些几何问题中的巧妙应用

在一些几何问题中，我们可以根据图形的几何性质，挖掘出其中蕴含的代数实质，找出其中的数量关系，以数助形，通过代数的手段使问题简化，从而得以简便的解决。

例5已知AB是圆O的直径，过A，B分别作圆的两条切线AD，BC，取线段AB上任意的一点E，过E的切线与AD，BC相交于D，C，求证：CD≥2OE。

分析：在一些几何问题的证明中，可以应用方程的观点来解决。把要证的问题转化为与之有关的一元二次方程，再利用判别式求出范围。

证：如图5，连接OC，OD

AD，BC，CD均是圆O的切线，且BCAB，又OECD

OE2=DE・EC，由图可知：DE+EC=CD

由韦达定理知DE，EC是方程CDx2-CDX+OE2=0的两个根

=(-CD)2-4OE2≥0，得CD≥2OE

在初等数学中，数形结合是一种极为重要的数学思想。以形助数，能够使一些复杂的数量关系和抽象的概念简单化、形象化、直观化；而以数助形，通过对数量的分析和计算，能够使问题得以严谨化、精确化地解决等等。数形结合思想具有以下作用：（1）导向作用。数形结合对许多数学问题的求解，有着显著地导向作用。注意数形结合的应用，毫无疑问，将有助于启迪思路，理清解题的线索。（2）简化作用。有许多数学问题，尽管不应用数形结合也能解决，但是如果能灵活地应用数形结合，往往就可以简化复杂的讨论和变形，从而简捷地解决问题。（3）完善作用。几何图形具有直观性的优点，可是在许多数学问题中，只是利用图形不能得出正确结论。此时，就有必要再借助“数”的精确性才能使问题完善地解决。（4）显隐作用。以数形结合为切入点，分析题目的数量关系和图形特征，有助于挖掘出隐含于题目中的条件，使问题化显为隐，从而快速巧妙地解决问题。

综上所述，数形结合在解题中，拥有令人瞩目的作用。强化数形结合的训练，可以培养良好的思维品质，体会到数学无穷的魅力。

参考文献：

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