以数学史为载体在中学数学教学中渗透数学文化的探究

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摘 要： 本文研究了如何在中学数学教学中渗透数学文化。文章从中学数学教学中渗透数学文化的必要性和我国数学教学的现状入手，阐述了数学文化的价值所在。然后重点谈了中学数学教学中渗透数学文化的实践。作者以数学史为载体，从起始课教学，概念教学，定理教学，公式教学，数学应用教学和名题教学入手，分析了如何在中学数学教学中渗透数学文化这一问题。研究表明，这样的实施是切实可行的，也是有效的。

关键词： 中学数学教学 数学文化 数学史

课堂是学生学习数学知识的主要途径，对数学文化的学习，应更多地体现在课堂教学之中，张奠宙先生认为“数学文化必须走进课堂”。的确，数学的文化内涵往往以潜移默化的形式存在，只有有意识地将文化观念渗透于数学课堂教学之中，才能让学生感悟这种“看不见的文化”。将数学史融入数学课堂教学是进行数学文化渗透的有效途径之一。

一、在概念教学中渗透数学文化

例：由悖论引出极限教学

高中教材中，从极限这一章开始，数学教学就进入了高等数学的教学，讨论的问题也由有限进入了无限，学生以往接触的都是有限运算，对无限问题的思考方法感到生疏。因此，在进入本章教学前，先可以介绍芝诺的著名悖论“追龟说”。具体过程设计如下。

在上课之前，我先给大家介绍一个希腊数学史上非常著名的问题――“追龟说”。“追龟说”讲的是：阿喀琉斯（古希腊神话中擅跑之神）追乌龟，永远追不上。比如，阿喀琉斯的速度是乌龟的十倍，龟在人前1000米，当阿喀琉斯跑1000米，到达龟的出发点时，龟已向前又爬了100米；阿喀琉斯继续追，再跑100米，龟又前进了10米；阿喀琉斯再追10米，龟又前进了1米；继续追1米，龟又爬行了0.1米……这样下去，不论阿喀琉斯怎样追，他和乌龟永远相隔一小段距离，所以阿喀琉斯永远也追不上乌龟。“追龟说”又称为“芝诺悖论”，是古希腊伊利亚学派的代表人芝诺提出的。“追龟说”明显违背生活常识，是一个谬论。当时的古希腊人明知阿喀琉斯一定能追上乌龟，却无法证明“追龟说”错在何处，这就成为希腊数学史上有名的难题，直到17世纪微积分学产生，这个问题才算基本解决。

我们来分析一下这个问题。当阿喀琉斯最终追上乌龟时，两者之间的距离为0。那么问题就转化为由距离构成的数列1000，100，10，1，0.1，…中的项最终能否无限地接近于0。今天我们学习了极限的概念后，就可以解决刚才这个问题了。“追龟说”激发了学生的认知冲突，巧妙地激发了学生的学习兴趣，这样引入极限定义，顺利地实现了从初等数学向高等数学的过渡。

在概念教学中融入数学史，不仅可以加深学生对概念的了解和认识，而且可以激发学生学习的兴趣和热情。

二、在定理教学中渗透数学文化

例：正弦定理背后的“三角”文化

1.提出问题，引发思考。

（1）三角形三边之间有什么关系？

（2）三角形三角之间有什么关系？

（3）三角形边角之间有什么关系？

这样设计的主要目的是让学生对已有的三角形边角关系进行梳理，为学习新课做好铺垫，同时提出这节课将继续研究三角形的边角关系，明确研究的主题。

2.由特殊到一般，得到正弦定理。

在ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且∠A=∠B=∠C=60°，引导学生观察、发现三角形的边与角的正弦值之间的a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC关系式是否成立？

接着再举出以下两个特例：若∠A=45°，∠B=45°，∠C=90°，上述关系式是否成立？∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°呢？由于学生已学习过特殊角的三角函数值，因此对于此问题，难度不大，学生容易得出正确的结论。

在学生做出正确的判断后，教师接着设疑：（1）关系式a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC与==是否等价？（2）对于任意的三角形，是否都存在==呢？

考虑到学生的知识水平有限，让学生直接探索正弦定理比较困难，因此，在设计中采用由特殊到一般，由具体到抽象的方法，让学生归纳猜想出定理。同时，先让学生得出关系式a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC，符合学生的认知规律。

3.利用几何画板，验证正弦定理。

利用几何画板可以对正弦定理加以验证，并且可以发现其比值恰好等于所给定的三角形的外接圆的半径。

这样的设计是由于定理的出现使用的是不完全归纳法，因此本研究者采用计算机辅助教学，让学生通过实验，验证猜想出的结论，形成对正弦定理的初步认识。

4.引入文化，丰富内容。

介绍完正弦定理后，应向同学介绍有关三角学的有关知识。三角学是以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础，达到测量上应用的一门学科。三角学起源于天文、测量、航海等实际需要，与古希腊的几何学有着不可分割的联系。三角学的发展大体可分为三个时期。第一时期是远古到11世纪以前，当时只用于测量三角学范围内的一些问题，这时期只能从埃及、中国、印度、阿拉伯等数学著作中发现有关三角学知识，但看不到角的函数概念。第二时期是从11世纪到18世纪。平面三角学（含球面三角学）脱离天文学而独立成为数学的一个分支。如13世纪阿拉伯人纳西尔丁把三角学作为独立的学科论述，继艾布瓦法之后首次证明了正弦定理==。同时他还给出了三角函数的定义，编制了大量的三角函数表，发现了一些三角公式。第三个时期是18世纪以后，随着研究范围的扩大，三角学已经成为研究三角函数的主要对象的学科，一度属于分析学的一个分支，现在已经将三角学归为几何学的一个分支。

通过文化背景介绍，学生明确了三角学的发展阶段，并从历史的角度明确正弦定理的来源和应用，为对定理的深刻认识做好铺垫。同时这样教学，激发了学生的学习兴趣，让学生体会到数学的科学价值、应用价值、人文价值、美学价值，提高了学生的文化素养，把数学文化的理念扎扎实实落实到课堂教学中。

三、在公式教学中渗透数学文化

例：多面体欧拉公式的发现教学

多面体欧拉公式的内容是：V+F-E=2，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数。在研究性学习“多面体欧拉公式的发现”一节课中，可以介绍欧拉生平。欧拉是十八世纪杰出的数学家之一，“七桥问题”和“多面体欧拉公式”都是欧拉提出和解决的。他在几何、微积分、力学、天文学、数论等方面都有重要的成就，人们把18世纪称为“欧拉时代”。大数学家拉普拉斯说：“读读欧拉，他是我们一切人的老师。”欧拉取得了令世人瞩目的巨大成就，但最可贵的是他坚强的意志。欧拉28岁就右眼失明，但他仍忘我工作，取得了杰出成绩。1771年圣彼得堡的一场大火将他所有的研究成果付之一炬，而此时欧拉已经是双目失明，种种磨难都没有摧垮这位科学巨人，他凭着坚强的毅力和顽强的意志，回忆了他所做的研究，口述发表了400多篇论文和专著。在种种的打击面前，欧拉仍然顽强不屈，执著追求。

欧拉的杰出智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神是对学生进行意志品质教育的难得的素材。这些必将对学生具有较大的指导意义。

四、在数学应用教学中渗透数学文化

例：分形学的引入

在学完苏科版初中数学的《中心对称图形（一）》后，教师完全有必要将现行数学界最前沿的研究领域――“分形学”介绍给大家。“分形”一词首先由曼德勃（B.B.Mandelbrot）于1973年提出的，“分形学”是目前国际上研究非常活跃的领域，但是，所有的分形图案却都是“中心对称图形”，因此，学好“中心对称”是学好“分形学”的基础。

下面是一些基本的分形图案。

分形Nova分形

这里的“分形学”的介绍，极大地开阔了学生的眼界，为他们的后续学习提供了一个很好的平台。

五、在名题教学中渗透数学文化

例：费尔玛猜想引入数学归纳法教学

在高中的数学归纳法教学中，结合教学内容，可以向学生介绍有关费尔玛的猜想的提出和解决。法国数学家费尔玛观察到：

F=2+1=3

F=2+1=5

F=2+1=17

F=2+1=257

F=2+1=65537

这些数都是质数，于是猜测归纳：形如F=2+1（k=0，1，2，3…）的数都是质数，这就是所谓的费尔玛猜想。在很长时间内没有人对此提出质疑。过了100多年，大数学家欧拉并没有盲从于这个结论，而是以批判的精神重新对这一猜想进行研究，证明了F=2=429496297=641×67004172不是质数，于是否定了费尔玛的猜想。

在教学中可以让学生通过简单计算对k=0，1，2，3时，F=2+1是不是质数做出判断，然后给出费尔玛猜想，在学生思考后再给出欧拉的结论。这样学生在学习中，不仅可以体会到批判精神的意义，而且可以加深对归纳递推的理解。

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部制定.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）.北京：北京师范大学出版社，2001，7：1-8.

［2］义务教育数学课程标准实验教科书（八年级•上册）•教师教学用书［M］.南京：江苏科学技术出版社，2008，5.

［3］林永伟，叶立军.数学史与数学教育［M］.浙江大学出版社，2004，4.

［4］数学课程标准研制组.普通高中数学课程标准（实验）解读［M］.江苏教育出版社，2004，4.

［5］王芳.文化观念下数学文本的课堂诠释［J］.中学数学教学参考，2005，4.

［6］张奠宙等.数学史选讲［M］.上海：上海科学技术出版社，2000：56-89.

（作者系苏州大学数学科学学院在读研究生）

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