基性质与逼近

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摘要: 阐述了基、Riesz基及框架的简要关系，讨论了利用多项式重构性质进行小波尺度算子的逼近阶估计问题.

关键词: 基；重构性质；逼近

中图分类号:O 174.41 文献标志码:A 文章编号:1672-8513(2011)05-0435-03

お

Properties of Bases and Approximation

YANG Zhuyuan

（School of Mathematics and Computer Science, Yunnan University of Nationalities, Kunming 650031, China）

Abstract: Properties of bases are discussed, and approximation by the wavelet scale operator using producing properties of polynomial is analyzed.

Key words: bases; producing properties; approximation

逼近理论一般区分为最佳逼近、偏差和宽度3组问题，被逼近函数通常属于Lp（1≤p≤+∞）尺度下的Sobolev及Besov函数类，而逼近工具常见的有多项式、样条、指数型整函数、平移不变子空间、小波、神经网络等，逼近区域或有限或无限，逼近算子有求和或积分算子等等.我们知道Weierstrass第一、第二定理［1］给出了一种逼近的可能性，其实进一步有更深刻的Stone定理［2］，基性质与逼近问题有着密切的关系，如果Banach空间X有Schauder意义下的基，则X可分且有逼近性质［3-5］.稠密性质是一个逼近性质，具有逼近性质的由小波基生成的多尺度分析单调子空间列由于具有分解和重构的特点（Mallat算法），使得小波在数字信号处理中具有广泛的应用，我们期望找到能够解决实际问题的无条件小波基，这样不论从实践到理论都具有良好的意义.仅从逼近的角度，我们关注的是逼近度问题，本文我们考虑多项式重构性质在逼近阶估计中的一个应用，我们首先回顾一下基、Riesz基及框架的简要关系.

1 基、Riesz基及框架关系简介

我们先介绍一下基、Riesz基及框架间的简要关系，因为它们都有我们关心的逼近性质.通常所说的Banach空间X上的基是指Schauder意义下的，即{xk}k∈N（N表示非负整数）为X的基是指x∈X，存在唯一的{ak(x)}k∈N使得x=∑k∈Nak(x)xk，级数的收敛是依X范数的（需要注意的是可分的Banach空间未必有基）.当此级数无条件收敛时， {xk}k∈N称为无条件基.若{xk}k∈N为基，则其极小［6-8］，并具有ω独立性即∑k∈Nckxk收敛到0蕴含ck=0(k∈N).{xk}k∈N为基，则 span{xk}k∈N=X，但需要注意的是{xk}k∈N的稠密性并不能保证其基性质.

Riesz基通常是对Hilbert空间H而言，它首先是H的基，且∑k∈Nckxk收敛当且仅当∑k∈N|ck|20），

显然当 ∑k∈N|ck|2

而{xk}k∈N称为H的一个框架是指成立A||x||2≤∑k∈N||2≤B||x||2(x∈H)，其中指H中的内积.对于框架而言┆span{xk}k∈N=H也成立.

Riesz基一定是框架，框架且为基则是Riesz基，{xk}k∈N是界为A、B的框架当且仅当

┆span{xk}k∈N=H且A∑k∈N||2≤∑k∈N|xk|2≤B∑k∈N||2,x∈H

{xk}k∈N是Riesz基当且仅当{xk}k∈N是框架且可由∑k∈Nckxk=0，{ck}∈l2ck=0，k∈N，此时它们的界相同，A=B的框架称为是紧的，当{xk}k∈N是紧框架时，至少在广义意义下有重构性质x=A－1∑k∈Nx~k，其中x~k=T－1xk，Tx=∑k∈Nxk是H到自身的一一有界线性算子.当{xk}k∈N是紧框架且A=1，||xk||=1时，{xk}k∈N构成H的一组正交基［6］.

2 多项式重构性质与逼近阶估计

设φ∈Er(Rd)={f:┆supx∈Rd|f(x)|(1+|x|r+d+λ)

∑j∈Zdp(j)φ(x－j)=p(x),p∈Πr（r次多项式空间） （*）

事实上，设p(t)=∑|α|≤raαtα, f(t)=p(t)φ(x－t)，则f(k)=p(k)φ(x－k),

f^(w)=［p(・)φ(x－・)］∧(w)=e－ix・wp(x－iD)(－w)=おe－ix・w∑|α|≤raα(x－iD)α(－w)=e－ix・w∑|α|≤raα∑0≤β≤ααうx│粒β(－iD)β(－w)，

其中相应向量指标意义按通常理解.

根据已知条件，f^(2kπ)=0,(k≠0)，及f^(0)=∑|α|≤raαxα，由Possion求和公式

∑k∈Zdf(k)=∑k∈Zdf^(2kπ)=(0)，

我们得到多项式重构公式（*）.

设若我们构造了r次可微函数f的线性逼近算子(Lf)(x)满足

(LQr－1)(x)=Qr－1(x)，其中Qr－1(x)表r－1次多项式，

把f(y)在点x处按Taylor展开

f(y)=Pr－1(y,x)+r(y,x)，

其中

Pr－1(y,x)=∑r－1k=0f(k)(x)k!(y－x)k，r(y,x)=1(r－1)!∫yx(y－t)r－1f(r)(t)dt 为Peano余项，

则有f(x)=Pr－1(x,x),从而

(Lf)(x)－f(x)=(Lf)(x)－Pr－1(x,x)=(Lf)(x)－(LPr－1)(x)=［L(f－Pr－1)］(x),