转化思想是解题的一把金钥匙

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转化思想是一种重要的数学思想，它蕴涵着极其丰富的内容，应用非常广泛.在解数学题时，运用转化思想可化繁为简，把握解题的关键，突破解题的难点，探明解题的思路，获得新颖、独特的解题方法，从而提高解题的能力.可见，转化思想确实是解题的一把灵巧的金钥匙，现举例说明如下.

一、一般问题特殊化

例1：方程（m+1）x4-（3m+3）x3-2mx2+18=0 对任何实数m都有一个共同的实数解，试求这个实数解.

分析：本题应抓住两个关键词：一是“任何实数”，二是“一个共同的解”，这样就可以把一般问题转化成特殊问题来解.

解：因为m为任何实数，不妨取m=-1 和m=0两种情形，将 m=-1代入原方程，得：2x2-18=0，

解这个方程，得：x=±3；

将m=0代入原方程，得：x4 -3x3=0，

解这个方程，得： x=0或x=3.

因为这两个方程只有公共解x=3，所以方程共同的实数解是x=3.

二、不等问题相等化

例2：已知不等式a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c，求满足不等式的实数a、b、c的值.

分析：一个不等式，三个待定未知量，不免令人困惑，但仔细揣摩条件，变换思考角度，不难想到向相等方面转化.

解：因为a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c可变形为：

（a-）2+3（-1）2+（c-1）2≤0，

所以， a-=-1=c-1=0，

所以a=1，b=2，c=1 .

三、方程问题不等式化

例3：一个边数是奇数的凸多边形中，除两个内角外，其余内角和为2 390°，求这个多边形的边数.

分析：此题如用方程解，难于下手，如根据多边形内角和定理及内角的取值范围来，求边数的取值范围，可迎刃而解.

解：设这个多边形的边数为n，由于多边形每个内角大于0°且小于180°，根据多边形内角和定理得：2 390°＜（n-2）×180° ＜2 390°+180°×2，

解这个不等式，得：15＜n＜17 ，

又因为n是奇数，故n＝17，这个多边形是17边形.

四、函数问题方程化

例4：已知抛物线y=x2-5mx+4m2 （ m为常数），求证：此抛物线与x轴一定有交点.

分析：要证抛物线与x轴有交点，可以转化成证明一元二次方程一定有实数解的问题.

解：若x2-5mx+4m2=0 ，

则?驻=（-5m）2-16m2=9m2≥0，

即一元二次方程x2-5mx+4m2=0 有实数解，

故知抛物线y=x2-5mx+4m2与x轴一定有交点.

五、正面问题反面化

例5：设三个二次方程x2+4mx+4m2+2m+3=0，x2+（2m+1）x+m2=0，（m-1）x2+2mx+m-1=0，它们中至少有一个方程有实根，求m的取值范围.

分析：此题从正面入手，须要分多种情况进行讨论，运算相当繁冗，不如变换思考角度，从反面突破.

解：若三个方程均无实数根，则：

?驻1=（4m）2-4（4m2+2m+3）＜0，

?驻2=（2m+1）2-4m2＜0，

?驻3=4m2-4（m-1）2＜0.

解得：-＜m＜- ，

所以符合题意的m的取值范围为：

m≤-或m≥-.

六、变量问题常量化

例6：解方程：x3+10x2+25x+4=0.

分析：这是关于x 的三次方程，想通过降次解出x很不容易，若把常量a视为变量，把变量x视为常量，问题可迎刃而解.

解：把原方程变为：x×52+（2x2+1）×5+（x3-1）=0.

解关于5的一元二次方程得：

5=-x+1，或5= ，

由此得：x1=-4 ，x2=-3+2，x3=-3-2 .