思考,也可以反过来

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摘要：对反向思维进行简要分析，通过一些实例，探讨了小学数学教学中反向思维的应用，提高学生的发散思维能力、创新能力和分析解决问题的能力，进而提升小学数学教学的的效率和质量。

关键词：反向思维 创新能力 解决问题

反过来思考即用反向思维处理问题，这种运用反向思维解决问题的能力是一种重要的数学素养。小学数学教学中反过来思考的重要性如下：1.反过来思考能够培养学生的逻辑思维能力。有时正面思考问题比较复杂，教师可以引导学生从反面去思考。2.反过来思考能够培养学生的创新能力。反过来思考可以使学生不局限于传统的思维方式、不受拘束地思考、解决问题。

如何提高学生用反过来思考思维解决问题的能力？我们以一些具体的实例来探究。

一、题型一：小明家有客人要来，爸爸让小明去买4种不一样的饮料，而小区里的小卖部只有5种饮料，请问小明有多少种不同的选择方法？这是一道关于一一列举的题目，只要有序列举，就能轻松解决了。做法是：把这5种饮料分别标号为A、B、C、D、E，根据有序列举的思想，根据字母先后顺序，从A开始，选出4种可以选A、B、C、D，可以选A、B、C、E，可以选A、B、D、E，还可以选A、C、D、E，从B开始可以选B、C、D、E，从C、D、E开始的都不可能，所以一共有4+1=5种。有没有更简单的方法呢？如果下次不是5个不同的数里面选4个，而是10个不同的数里面选9个呢？我们总是从正面去考虑问题，5个里面选4个，很复杂，能不能反过来思考呢？5个里面选4个，反过来思考，就是5个里面有1个不选，不选哪个呢？可以不选A，可以不选B，可以不选C，可以不选D，还可以不选E，一共有5种不选的方法，那这五种选法的结果就分别是B、C、D、E，A、C、D、E，A、B、D、E，A、B、C、E和A、B、C、D。反过来思考，问题就简单多了。再回到刚刚10个不同数里面选9个的问题，我们从正面思考很复杂，而从反面思考只要考虑不选哪一个，10个不同的数都有可能不被选到，所以一共有10种不同的结果，这10种结果分别是不选第一个数，不选第二个数……不选第10个数。除了这种5个不同的数里选4个，10个不同的数里选9个的情况外，5个不同的数里选3个，10个不同的数里选8个的问题也可以用这样的反过来思考的方法解决。5个里面选3个其实就是5个里面不选2个，10个里面选8个其实就是10个里面不选2个。当正面思考问题很复杂的时候，我们不妨从反面去思考，问题就能变简单。

二、题型二：我们来看看著名的斐波那契数列问题。有个楼梯有3个台阶，小明每次只能跨1个台阶或2个台阶，请问一共有多少种上楼梯的方法？把所有的情况有序列举出来，分别是1、1、1，1、2和2、1，一共有3种方法。如果有4个台阶呢？把所有的情况有序列举出来，分别是1、1、1、1，2、1、1，1、2、1，1、1、2和2、2，一共有5种。如果有5个台阶呢？把所有的情况有序列举出来，分别是1、1、1、1、1，2、1、1、1，1、2、1、1，1、1、2、1和1、1、1、2，2、2、1，2、1、2和1、2、2，一共有8种。台阶数越多，情况越复杂。现在问：有10个台阶的楼梯，小明每次只能跨1个台阶或2个台阶，请问一共有多少种上楼梯的方法？还要像刚刚那样一一列举出来吗？那样做太复杂，就算做出来也要花很长的时间。我们总是从正面的角度：第一步该走几个台阶，第二步该走几个台阶等等的角度去思考，能不能从反面去思考呢？10个台阶，最后一步可能走1个台阶，也可能走2个台阶。如果最后一步走1个台阶，那么之前无论怎么走，都是走了9个台阶，这不就是走9个台阶的方法吗？如果最后一步走2个台阶，那么之前无论怎么走，都是走了8台阶，这不就是走8个台阶的方法吗？所以走10个台阶的方法数就应该是走9个台阶的方法数加上走8个台阶的方法数。而走9个台阶的方法数和走8个台阶的方法数与求走10个台阶的方法数的方法一样。走9个台阶，最后一步可以走1个台阶，也可以走2个台阶。如果最后一步走1个台阶，那么之前无论怎么走都是走8个台阶，也就是走8个台阶的方法数。如果最后一步走2个台阶，那么之前无论怎么走都是走7个台阶，也就是走7个台阶的方法数，最后再把2种情况的方法数加起来。总之，要求走n个台阶的方法数，只要用走（n-1）个台阶的方法数加上走（n-2）个台阶的方法数。我们把之前算出的走3、4、5、6个台阶的方法数3、5、8、13来验证一下。13=5+8，8=3+5，都符合。根据这种关系，我们可以算出走7、8、9个台阶的方法数，分别是8+13=21，13+21=34，21+34=55，所以，走10个台阶的方法数只要用34+55就可以算出，为89种。如果从正面去思考要列举出89种情况，这是多大的工作量啊！而从反面考虑显然容易多了。

三、题型三：有8支足球队参加比赛，比赛以单场淘汰制（即每场比赛淘汰1支球队）进行。一共要进行多少场比赛才能产生冠军？8支球队，如果按照单场淘汰制规则，第一轮分成4组，决出四强进入第二轮；第二轮分成2组，决出前两名进入第三轮；第三轮只有一组，决出冠军，所以一共要进行4+2+1=7场比赛。这么思考是比较顺利而简单的，但是如果一共有16支球队、32支球队、64支球队甚至128支球队呢？难道还每次都去思考第一轮、第二轮、第三轮等等各要比赛几场吗？就算学生知道，有128支球队要比赛时只要用64+32+16+8+4+2+1来计算，这个计算的过程显然比较复杂，能不能从反面去思考一下如何快速解决这个问题呢？单场淘汰制的比赛规则使得无论怎么比，每场比赛都只淘汰一个球队。当有8支球队时，反过来思考一下，因为最后只有一个冠军，其他球队都会被淘汰，也就是有8-1=7支球队会被淘汰，一场比赛只能淘汰一支球队，所以要比赛7场才能产生冠军。当有128支球队比赛时也是如此，无论中间的比赛安排如何，最后只有一个冠军，因此有128-1=127支球队会被淘汰，因此要比赛127场才能产生冠军。

对于某些特殊问题，反过来思考会使问题简单化。这是一种解决问题的重要能力，也是一种重要的数学素养。

（作者单位：江苏省苏州市苏州高新区金色小学校）