谈谈公式ΔT＇=ΔT／√1－V2／C2
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talk about equation δt＇=δt／√1－v2／c2
内容 提要：接触过狭义相对论的人，一定知道这个公式δt＇=δt／√1－v2／c2。想必你对这个公式巧妙的数学推导也是充满敬意的，我就有这样的感觉。但随着对狭义相对论理解的深入，我开始怀疑这个公式。狭义相对论的立论基础光速不变和同时性的相对性观点是正确的，但是这个公式的推导过程是值得商榷的。
首先让我们回顾一下物理教科书中这一段的内容。
假定一列以匀速v行驶的火车，在车厢侧壁上装有一个光源，（见图一）。在车厢正对光源的另一侧放置一面反射镜，它的取向使得来自光源的光线垂直于火车的运动方向返回出发点。设车厢的宽度为l，在火车上的观察者将光源射向对面距离为l的镜面上，他测得光往返镜面一次所需的时间间隔为δt。因总距离为2l，所以时间间隔为
δt=2l／c （1）
这是列车 参考 系中的情形。
在路基上的观察者测得光往返一次的时间间隔为另一值δt＇在这个时间间隔内，光源相对于路基移动了一段距离v×δt＇，光往返一次所经过的距离不是2l而是2l＇，这里
l＇=√l2+（v×δt＇／2）2
对车上和路基上的观察者来说，光速是相同的。因此对路基上的观察者来说有下面的关系式
δt＇=2l＇／c=［2×√l2+（vδt／2）2］／c （2）
为了求出δt＇和δt的关系，关系式中不含l，我们由式（1）解出l，再把结果代入（2）式经过整理就得到
δt＇=δt／√1－v2／c2
因为√1－v2／c2＜1故δt＇＞δt。这表明，在光“往返”过程中，当车上的时钟走过一段时间δt时，路基上的钟已经走过了一段比δt长的时间δt＇。用日常的语言来说，就是车上的钟比路基上的钟慢。
l δt l＇
l
θ
0 δt＇
v δx
在当今大多数介绍相对论的教科书中，基本上都是采用上述例子来定量地证明两个相对运动参照系中时间关系的。我认为在这个例子里，有两个 问题 是值得讨论的。第一个问题是：“从光源发出的光”这样的描述是不精确的。我们知道光是由一系列离散的光子所组成的，所以 研究 光的运动 规律 实质上就是研究每一个光子的运动规律，这好比说从枪管里连续发射的子弹，我们要确切地知道是哪发子弹命中靶心一样。所以为使问题简化，我们可以将上面“从光源发出的光”改为从光源发出的一个光子，我们只考察这一个光子的情况。第二个问题是：当火车在运动过程中，从光源发射的垂直于火车运动方向的这个光子能否被火车上的观察者接收到，在路基上的观察者是否真的能观察到这个光子走了锯齿形的路线呢？我个人认为，不管是车上的观察者还是路基上的观察者都不可能观察到例子中所描述的现象，所以例子中给出的这个前提条件本身就是错误的。从迈克尔逊和莫雷的实验中，我们知道光速与光源的运动是无关的。所以当垂直发射的光子离开光源时，光子将仍然保持垂直于火车运动方向的运动，由于光子是垂直于镜面发射的，所以当光子遇镜面返回时要按原路回到它出发的空间位置，这时候火车或光源已经移动到另一个地方了，随火车运动的观察者是不可能接收到从光源垂直发射出的光子的。那么在运动的火车上能否接收到从一个随火车运动的光源发射的光子呢？答案是肯定的，如果从光源发射的光子与运动的火车存在一个小于900角度夹角的话，火车的速度与夹角之间的关系是：
v=c×cosθ
这里v是火车的速度，c是光速，θ为发射的光子运动方向与火车运动方向之间的夹角。在这个等式中，当θ等于900时，cosθ等于零即要求火车的速度v等于零才能接收到光源发射的光子。当θ等于00时，cosθ等于1即v要等于c才行。
如果光源只能发射垂直于运动方向的光子的话，那么随火车运动方向上的观察者永远也接收不到返回的光子，路基上的观察者也不会看到锯齿形的光线。之所以会发生这样的错误，原因是由于把从光源发出的（垂直和具有夹角）两个光子的行为当成是一个光子的行为所致。