借助合情推理培养探究意识
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[摘 要]问题解决是当今数学教育目标之一，也是新课标对中学数学教学的的重要目的之一，借助波利亚（G. Polya）的“解题程序”引导学生自主探究，在提高学生的数学解题能力的同时，培养学生探究性学习的意识，进而提高学生的创新能力。
中图分类号：G4 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2015）23-0289-01
波利亚很早就注意到“数学有两个侧面，欧氏方法所表现的数学是一门系统的演绎科学，创造中的数学却是实验的归纳科学。”他还明确提出两种推理：“我们借论证推理来肯定我们的数学知识，而借合情推理来为我们的猜想提供依据。”“严格地说，除数学的论证逻辑外，我们所有的知识都是由一些猜想所构成的。”而“在学校惯常的课程中，还没有一门能提供类似的机会来学习合情推理。”波利亚坚持数学的学习过程应当让猜想、合情推理占有适当的位置，所以我们应“大胆猜想，合情推理”。
在波利亚的“怎样解题表”中有以下解题过程：
1、弄清问题；2、拟订计划；3、实现计划；4、回顾、检验。
其中最关键的一步使拟订解题计划，下面就一具体问题进行说明。
（图1）例1，P、Q为O的内接四边形ABCD对边AB、DC延长线交点，连接PO、QO、AO、BO、CO、DO、PQ。
求证：PO2+QO2=PQ2+OA・OB+OC・OD
根据波利亚的解题表，第一步是“了解问题”，其中要求注意“已知、未知分别是什么？可能满足什么？画个图等”，这些都比较简单（见图1）。
在第二步中，我们要考虑“你以前曾见过它吗？”，“你是否见过相同的问题而形式稍有不同”，…，“你若不能解决这个问题，可先解决一个与此相关的问题”，“你能不能想出一个更容易着手的相关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？”等等，按此启发下去，引导学生思考、探求，我们可将问题改变一下。
A原题要证PO2+QO2=PQ2+OA・OB+OC・OD，我们可设半径为r，而OA=OB=OC=OD=r，则论题可变为：PO2+QO2-2r2=PQ2，如图2，设PO交O于点M，PO的延长线交O于点N，而PO2-r2=PM・PN=PC・PD，同理有QO2-r2=QC・QB，所以我们只须证QC・QB+PC・PD=PQ・PQ，即两积之和等于第三积。这我们一定能想起托勒密定理，内容是：
例2、如图3，已知O的内接四边形ABCD的对角线为AC、BD，
求证：AB・CD+AD・BC=AC・BD
此时也许有人会根据做例2的方法来解决例1，则问题得到解决。也许有人没做过例2，那我们继续按波利亚的“解题程序”去探求，“两积之和等于第三积”与以前的“两数之和等于第三数”，于是想到类似例3的问题。
例3、如图4，已知O的内接正三角形ABC，P为劣弧BC上的任意点，求证：PA=PB+PC
此题就简单了，利用“割补法”，在PA上取一点E，使得PE=PB，我们易证ABE≌CBP，从而有AE=PC，使PA=PB+PC得证。根据此题解法，我们可以猜想，“两积之和等于第三积”是否可类似“两数之和等于第三数”那样利用“割补法”来解决呢，将第三积拆为两部分，一部分与左侧的第一积相等，证明剩下的部分与第二积相等。先看例2，如图5，在AC取一点E，则AC・BD=AE・BD+EC・BD，取点E时使其满足AE・BD=DC・AB，即使AEB∽DCB，而题中已有∠BAC=∠BDC，只要在取点E时满足∠AEB=∠DCB即可，然后再证EC・BD=AD・BC，即ADB∽ECB，由图可知∠ADB=∠ACB，而∠AEB与∠BEC互补，∠BAD与∠DCB互补，且有∠AEB=∠DCB，所以∠AEB=∠BEC，到此例2得证。
A会证例2，就可用同样的方法来证例3，如图6，在上取一点E，则PO2可写成PE・PQ+EQ・PQ，取点E时要满足PE・PQ=PC・PD，即使∠PEC=∠PDB，这样就只须证EQ・PQ=QC・QB了，也就是要证QCE∽QPB，而∠PEC=∠PDQ，∠PEC与∠QEC互补，∠QBA与∠QBP互补，所以∠QEC=∠QBP，于是有QEC∽QBP，即得证QE・PQ=QC・QB，例1得到圆满解决。
按波利亚的“解题程序”，拟订计划后是实现计划，即将以上分析逐步核实后按要求写出，此处略。最后一步是回顾，此时要考虑是否能用其它方法解决这道题（这是我们常说的一题多解，其意义及实施途径有很多文章论述，此处略。），还有能否将这个方法应用与其它问题（这是我们常说的推广与引申，此处亦不多谈）。
以上是通过具体实例谈谈波利亚的“怎样解题”表中“拟订解题计划”，即如何引导学生分析问题，寻求思路、方法，借助“合情推理”，通过猜想、推导，逐步解决问题。这样不仅能提高学生的解题能力，更重要的是学生通过独自思考、共同探究，提高主动分析问题、解决问题的意识，全面提高学生的素质。
参考文献
[1] G・Polya《怎样解题》，科学出版社[M]，1982.
[2] 唐志华，郁建辉，合情推理教学模式简介[J]，数学教育学报，1998（2）：6～9.
[3] 张水胜，发现法及其应用，数学通讯[J]，2003（7）：1～3.
作者简介
李艳梅，女，1971年生，齐齐哈尔市二十八中教师，中教一级，研究方向初等数学教学方法研究。