一类宿主具有垂直传染的媒介传染病模型分析
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【摘 要】本文建立并研究了一类宿主具有垂直传染和预防接种的的媒介传染病模型，给出了疾病流行与否的阈值并讨论了平衡点的存在性。运用Hurwitz判据证明了当基本再生数R0<1时，无病平衡点是局部渐近稳定的;当R0>1时，地方病平衡点也是局部渐近稳定的，并对证明结果进行了数值模拟。
【关键词】媒介传染;垂直传染;动力学系统;基本再生数
Analysis of a Kind of Host―Vector Epidemic Model with Vertical Transmission
XIAO Ya-nan XUE Ya-kui
（School of Science， North University of China， Taiyuan Shanxi 030051， China）
【Abstract】The Host-Vector epidemic model with vertical transmission and vaccination is formulated and studied. The threshold is identified which determines the outcome of disease and the existence of the equilibrium is discussed. The model is shown that the disease free equilibrium is locally stability when R0<1 and the endemic equilibrium is locally asymptotically stable when R0>1. The numerical simulations are carried out to prove the results.
【Key words】Host-vector; Vertical transmission; Dynamic modeling; Basic reproduction number
0 引言
传染病是由各种病原体（大部分是微生物，小部分为寄生虫）引起的能在人与人、动物与动物或人与动物之间相互传播的一类疾病。一直以来，传染病的流行就是人类生存的大敌，其中媒介传染病是很常见的一种。由于传染病不能采取实验形式进行研究，通过建立传染病动力学模型进行理论性定量研究就显得至关重要，近年来得到了许多显著成果并对传染病的防治起到了重要的作用[1-2]。本文建立了一类宿主具有垂直传染的媒介传染病模型，给出了决定疾病是否爆发的阈值―基本再生数，并对系统平衡点的稳定性进行了分析，最后通过Matlab进行了数值模拟，以图形的形式给出平衡点稳定性的说明。
1 动力学模型
考虑宿主为具有垂直传染和预防接种的SIR模型，假设染病媒介叮咬易感人群使人患病，而易感媒介通过叮咬染病人群而被感染。将人口分为易感类、染病者类和康复类，用SH（t），IH（t），RH（t）分别表示t时刻的易感，染病，康复类的人群数量，NH（t）=SH（t）+IH（t）+RH（t）。假设不考虑因病死亡，用b和b′分别表示非染病者（S+R）和染病者I的出生率系数;d和d′是相应的死亡率系数，γ表示染病者的康复率，q是垂直传染率（p+q=1），m是对易感者和康复者的新生儿进行预防接种的比例。对于媒介，分为易感，感染两类，用SV（t），IV（t）分别表示t时刻的易感、染病媒介的数量，NV（t）=SV（t）+IV（t）。μ是媒介的出生和死亡率系数。β1表示染病媒介对易感人群的感染率系数，βV表示染病人群对易感媒介的感染率。假设康复者终身免疫该疾病，令b=b′，d=d′，根据仓室模型思想可以得到如下传染病动力学模型：
■（1）
由于■，■，故人口总数和媒介总数均为常数，不妨设为NH=SH+IH+RH=1，NV=IV+RV=1，我们只需考虑如下系统：
■（2）
易知{SH，IH，IV∈R■■∶0≤SH，IH，IV≤1}是式（2）的一个正向不变集。
2 再生数的表达式和平衡点的稳定性
系统（2）总存在无病平衡点E0=（1-m，0，0）。由传染病动力学知识，令基本再生数R0=■。基本再生数表示在发病初期，当所有人均为易感者时，一个病人在患病期间内所传染的人数[3-4]。关于无病平衡点的稳定性我们有以下的结论：
定理一 对于系统（2），当R0<1时，无病平衡点E0是局部渐近稳定的。
证明 该系统在无病平衡点E0的雅可比矩阵为
■，
其对应的特征方程（λ+b）[λ2+（μ+pb′+γ）λ+μ（pb′+γ）-β1β2]=0
令f（λ）=λ2+a1λ+a2，a1=μ+pb′+γ，a2=μ（pb′+γ）-β1β2，当R0<1时，a1>0，a2>0。根据Hurwitz判据[5]，特征方程的根均有负实部，则无病平衡点E0是局部渐近稳定的。
定理二 对于系统（2），当R0>1时，存在唯一的地方病平衡点E*。
证明 求模型（2）的地方病平衡点E■（S■■，I■■，R■■，I■■）。将S■■，I■■，R■■，I■■代入模型（2）中得
（1-m）b（1-I■■）+pb′I■■-β1S■■I■■-bS■■=0（3）
β1S■■I■■-（pb′+γ）I■■=0（4）
β2（1-I■■）I■■-μI■■=0（5）
由（5）可得■，由（4）可得■，将S■■，I■■代入（3）可以得到
-β1■I■■+[pb′-b（1-m）]■-■+b（1-m）=0
即■
当R0>1时，I■■>0，即系统（2）存在唯一的地方病平衡点。
定理三 对于系统（2），当R0>1时，地方病平衡点E*是局部渐近稳定的。
证明 该系统在地方病平衡点E*的雅可比矩阵为
■
对应的特征方程为
（λ+b）[λ2（pb′+γ+β2I■■+μ）λ+（pb′+γ）（β2I■■+μ）-β1β2S■■（1-I■■）]
+β1I■■[[b（1-m）+γ]λ+[b（1-m）+γ]（β2I■■+μ）]=0
令p（λ）=λ3+a1λ2+a2λ+a3，其中a1=pb′+γ+β2I■■+μ+b，a2=（pb′+γ）（β2I■■+μ）-β1β2S■■（1-I■■）+b（pb′+γ+β2I■■+μ）+β1I■■[b（1-m）+γ]，a3=b（pb′+γ）（β2I■■+μ）-bβ1β2S■■（1-I■■）+β1I■■（β2I■■+μ）[b（1-m）+γ]。显然a1>0，也容易证明Hk>0，k=2，3。根据Hurwitz判据[2]，p（λ）=0的根均具有负实部。从而系统（2）在地方病平衡点处是局部渐近稳定的。
3 数值模拟
从数值角度出发，以图形的形式给出平衡点稳定性的说明。图1中仿真所用参数的对应数值为b=0.08， b′=0.02， μ=0.6， β1=0.034， β2=0.065， γ=0.045， m=0.7， p=0.3， 则R0=0.1472<1。图2中仿真所用参数的对应数值为b=0.08， b′=0.02， μ=0.6， β1=0.36， β2=0.28， γ=0.08， m=0.6， p=0.28， 则R0=0.8860<1，疾病消亡。
图1
图2
图3中仿真所用参数的对应数b=0.08， b′=0.02， μ=0.6， β1=0.36， β2=0.28， γ=0.045， m=0.6， p=0.08， 则R0=1.2009>1。图4中仿真所用参数的对应数值为b=0.08， b′=0.02， μ=0.6， β1=0.76， β2=0.55， γ=0.0032， m=0.0008， p=0.0004， 则R0=14.7864>1，疾病流行。
图3
图4
【参考文献】
[1]Abid Ali Lashari， Gul Zamanb. Global dynamics of vector-borne diseases with horizontal transmission in host population[J]. Computers and Mathematics with Applications， 2011，61：745-754.
[2]B.Buonomo， Cr.Vargas-De-Len. Global Analysis of a Host-Vector Model with Infectious force in Latent and Infected Period[J]. Acta Analysis Functionalis Applicata， 2012，14（04）.
[3]R.M. Anderson， R.M. May. Co-evolution of host and parasites[J]. Parasitology， 1982，85：411-426.
[4]H.W. Hethcote. The mathematics of infectious diseases[J]. SIAM Rev， 2000，42：599-653.
[5]Z.E. Ma， Y.C. Zhou， W.D. Wen. The mathematical modeling and research on dynamics of infectious diseases[M]. Beijing：Science Press， 2004.
基金项目：山西省基础研究计划项目（自然）。
作者简介：肖亚男（1990―），女，山西吕梁人，硕士研究生，从事生物数学研究。