画图:从经历走向经验

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大凡数学学得好的人都有这样的经验：面对一个复杂的问题，若能借助直观图形进行分析思考的话，问题往往能轻松得到解决。画图在数学学习中的重要性不言而喻，通过画图，能把抽象问题具体化、直观化，从而帮助学生理清思路，找到解决途径。斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以转化为一个图像，那么就整体地把握了问题。”因此，从学生第一学段的学习开始，我们就尝试有意识地渗透画图策略的教学，帮助学生逐步积累画图经验，希冀为学生的数学学习能力的持续发展夯实基础。

一、“画个图就行了。”——初步体验画图的优越性

图形，因其直观、形象的特点颇受低年级孩子的青睐。当遇到条件相对隐含、容易混淆的数学问题，但又需要学生抓住问题本质时，不妨引导学生请出图形来帮忙，进一步理解题意，为分析解决问题作好准备。如一年级上册“小动物排队”的问题：

学生直接读题后，发现有点说不清、道不明，这时一个孩子迸出了这样的想法：“画个图就行了！可以用一个圈来表示一个小动物……”教师因势而导：“真是个好办法！画一画就行啦！根据‘从前往后数，第5只是小鹿’这个信息，怎么来画出小鹿的位置？再根据‘从后往前数，第8只是小鹿’又该怎样画出小鹿后面的小动物呢？”学生进一步思考，纷纷画出了能够较好解决问题的图。有图如下：

由于每个孩子在画后面的小动物时，想法不同、画法不同，所以他们的算法也是各不相同：有5+8-1=12（只），也有5+7=12（只），还有4+1+7=12（只）。但不管是哪种算法，他们通过画图，都清楚地明白了：在一条队伍中，小鹿是从前往后数的第5个，又是从后往前数的第8个，小鹿被重复数了两次，所以求“一共有多少只小动物”，要去掉多数的一次。

苏教版数学教材在各个年级中也螺旋式编排了相应的教学内容，旨在让学生体验画图的优越性。

如二年级下册《求比一个数多（少）几的实际问题》中，通过将两行花片一一对应摆放来解决小华摆了多少个，到感受用方格一格一格摆出的32格太麻烦了，将每个格子合并起来变成直条，产生直条图，再到借助直条图来感受两个量之间的关系，让学生通过“画图”操作活动，完成由“形象”的物到“半抽象”的直条图的过渡。

《倍的认识》一课中，不仅有实物操作、直条图的呈现，更是在“认识倍”之后的练习，出现了线段图的雏形：要求学生分别量出两条线段的长度，并说说第一条线段是第二条线段的几倍。从根据丰富的实物图直观感知、直条图表征，到线段图提炼概括，完成了由“半抽象”的直条图到“抽象”的线段图的过渡。

到三年级上册《解决两步计算的实际问题》教学时，第一次正式要求学生补充完成线段图，让他们初步学会画线段图的基本方法，会用直观简练的线段图来描述数学问题，并能借助其来分析和解决实际问题。

二、“图，可以这么画。”——适切指导，积累画图技巧

我们在实际教学中往往会发现：在解决容易的问题时，孩子们不愿意画图来分析，遇到困难时，常常想到画图来思考，但苦于平时没有掌握基本的画图技巧，就没法用起来。因此，教师要用心呵护学生画图意识的萌芽，并给予适切的画图指导。

1.及时指导，适合即可

学生刚萌发画图的意识时，我们对于他们的画图要求不可过高，可以不要求他们所画线段图与教材中呈现的一模一样，也可以暂时不追求图的美观与比例的准确性，只要基本符合问题的数量关系即可。

在面对具体的数学问题时，由于每个孩子理解水平的不同，我们要因材施教，鼓励孩子用便于自己理解、能够表达的方式来画图表征题意。如三年级的一个问题：“一本《新华字典》9元6角，小华每天存3角，存多少天才能买一本《新华字典》？”孩子们画出了三种图，展示了他们个性化的思考与表达。在此过程中，重要的是让学生充分感受到用画图的方法整理信息对于解决问题的价值，体会画图是解决问题的一种常用策略。

当然，教师作为线段图构造的示范者和指导者，我们要帮助学生获得画线段图的基本方法与技能，使他们学会用线段图表示一些基本的数量关系。如学习“倍”的知识，学生第一次接触线段图，他们涌动着画图的热情，教师就应顺势启发学生思考：如何恰当地确定“一个单位的长度”——画得太长，接下来3个单位的量不够画；画得太短，看不清楚。对于如何表示3个单位长度，尽管学生年龄小，刚开始也会画得不太标准，但教师的示范一定要到位，关系一定要厘清：两条（或三条）线段的左端要对齐，便于比较；倍比关系的实际问题中，通常先画单位“1”的量；行程问题中要根据数量的大小，确定1格的长短等等。这些技巧在教学中逐步地相机渗透，这样将更有利于提高学生画图表示题意的准确性。

2.阶段引导，适当规范

当学生在第一学段接触用线段图来表达题意时，肯定会遇到很多问题，特别是两个量存在相差关系或倍数关系时，该先画哪个量，再画哪个？常常，学生会有一个惯性的认识，哪个已知，就先画。如相差关系的例子：

例（1）：①一件上衣45元，一条裤子比一件上衣贵12元，一条裤子多少钱？

②一件上衣45元，比一条裤子贵12元，一条裤子多少钱？

像例（1）这样两个量相差关系的实际问题，孩子们往往会受“贵”这个字的负面影响，两题都列式为45+12=57（元）。于是试着让他们画图思考，他们画出的图是这样的（图1）：

于是，有些教师就想到，引导孩子在第②小题画图之前，把“一件上衣比一条裤子贵12元”转化成“一条裤子比一件上衣便宜12元”，再来画图。其实，会先转化后画图的孩子，思维水平肯定是比较高的，对于另一部分学生，我们如何让他们找到基本的画图方法呢？不妨在适量的看图、画图练习后，帮助他们进行归纳：两个量比多少的实际问题，总是以某个量为标准量，另外一个量去和这个标准比较。因此，我们通常可以先画标准量，再与之比较，去画另一个量（如图2）。

又如倍数关系的例子：

例（2）：①白兔拔了21个萝卜，灰兔拔的是白兔的3倍。灰兔拔了多少个？

②白兔拔了21个萝卜，白兔拔的是灰兔的3倍。灰兔拔了多少个？

一般实际问题在画图时，可以先画已知量，再画未知量。但当学生遇到如例（2）这类问题时，有的教师就引导他们先画一份数，再画几份数。这种方法确实可行。

其实，如果我们可以把相差关系和倍数关系两者联系着来观察，归纳出这两类问题画图方法的相同处。不管是相差关系还是倍数关系，都是两个量比较的一种结果，只是比较的结果不同。由于都表示两个量在比较，因此通常都用两条线段来画；两个量在比较，都是先确定一个量是标准，另一个量去与之相比较，所以不管是相差关系的实际问题，还是倍数关系的实际问题，我们通常都先画标准量。这样，当第一学段的孩子遭遇“一个数的几倍多（少）几的实际问题”顺向或逆向的问题，就找到了相对统一的画图技巧，会觉得画图再也不是那么变化多端的事情了。

在长期规范的画图指导之后，对于有些简单的、学生容易想通的问题，也可以让他们在脑中画图，然后根据脑中的图来解决问题，从真正意义上提高学生的解题能力。这是画图的高层境界，也是我们追求的目标。

三、“你能看懂这图吗？”——在画图与看图间转换，促进思考

通过画图，能把复杂的数学问题变得简明、形象。但有的学生画了图，却依然看不出隐含的数量关系。其实，不能为了画图而画图，画图的目的在于促进学生思考，使复杂变得简明，内隐变得形象。这就需要教师在画图的同时关注学生的读图分析能力，将学习的视角在画图与看图间灵活转换，帮助学生积累看图的经验。

如：一件上衣45元，一条裤子比一件上衣贵12元，一套衣服多少钱？学生在解答这题时，只用了一步：45+12=57（元）。有位教师发现学生的错误解答后，指导孩子画图如下：

让学生试着看图分析题意，说说已知什么条件，要求什么问题，要怎么思考。当时，老师以为是学生没有看清问题。可是，他们在分析时依然坚持自己的算式是正确的。纳闷之下，教师分小步引导：在图中，找一找你算式中的每个数分别指的是线段图中的哪一部分？分别表示什么？学生的困惑终于在教师面前显露出来：原来他们认为45元是上衣的价格，12元是裤子的一部分价格，所以合起来就是一套衣服的价格，这说明他们看图分析的经验是比较薄弱的。在一步计算的时候，由于问题简单，往往模仿列式，并没真正理解45+12的意义。因此，教师在教学一步计算的问题时，可以适当出一些根据算式说说算式中每个数在线段图中所表示的部分及其意义，弄清45元表示上衣和裤子相同的一部分钱，12元表示裤子比上衣多出的另一部分，两部分合起来就是上衣的价钱。

又如，三年级上册在学习《长方形和正方形的周长》后，学生共同解决一个问题：“在一张长7厘米、宽5厘米的长方形纸张中，剪下一个最大的正方形。正方形的边长是（ ）厘米，周长是（ ）厘米。”他们通过画图，回答第一个问题基本不存在障碍，但是面对第二个问题时却不知所措。原以为是学生不知道求什么图形的周长，后来才发现，他们看着自己画的图，也不知道是求哪一部分的长度。这说明学生对在复杂情境中找到所要求的问题还是存在一定困难。因此，有必要引导他们理解周长的概念：“什么是正方形的周长？在图中指的是哪一部分线段的长度？用彩笔描一描。”学生在动手描的过程中，清晰了概念，厘清了问题。

四、“你是怎么解决这个问题的？”——在反思中提升画图经验

画图经验的积累，需要学生对解题方法进行多次的感悟、优化、抽象与概括，在解决问题过程中用画图经验不断进行积淀、内化、总结与升华，同时体会画图的价值。

如：三年级上册《用两步连乘解决实际问题》中有这样一题：

用两步连乘的方法解决实际问题，一个不可避免的问题是：从三个已知数量中任选两个数量相乘，再乘第三个数量，这样的解题策略是正确的，它既能用“假设法”来阐述道理，也符合“乘法交换律、结合律”。无论有没有上过这节课，在解决类似的问题时，不少学生都会选用这样的解题策略，虽然他们不一定都能说清其中的道理。因此孩子们在解答这题时列出了如下的算式：

（1）8×5=40（台），40×4=160（台）

（2）8×4=32（台），32×5=160（台）

（3）5×4=20（天），8×20=160（台）

追寻其每步求的是什么时，虽有少数学生能用语言清晰地表达，但多数停留在对数据特征“跟着感觉走”的表面化的猜想上，并未真正从数量关系的角度去分析问题。因为这里涉及的量并不是“单一”关联的量（如，“每人装8台电脑”），而是一个“双关联”的量（如“每人每天装8台电脑”）。由于第一次涉及双关联量要直接以语言叙述来表述清楚，对于三年级的学生来说，思维水平的发展还未能达到这样的抽象水平，的确存在着困难。这就要我们抓住乘法的意义，一步步引导学生：“如果用符号‘’来表示一人一天装8台电脑，你能用图来表示8×5的意思吗？这一步求的是什么？第二步算式表示什么？接着自己先画一画，再说一说好吗？”

孩子们在老师提示下，试着画出了上面的图。看着画出的方格示意图，使得双关联的相乘的意义，变得形象、直观，易于理解。更加意外的是，对于第（3）种解答，班里的学生竟然能画出下面的图，用假设的思路来解释自己的算理：4个人干5天的活，假如让一个人去做，就相当于一个人做5×4=20（天）。

像这样，让孩子在“欲求而不得”的情况下，借助线段图来寻求突围，在解释、反思时，自主“补”出图，来解释、验证自己的思路，才能真正发挥画图的效用。

画图，是一种重要的学习策略，“数缺形时少直观，形少数时难入微。”若能从第一学段的教学起，遇到问题，教师就鼓励学生自己画出图思考一番，让他们寻找并不断体验“当数形结合便能豁然开朗”的乐趣，久之，他们自然就积淀了丰富的画图经验。这样的经验积累，能让学生主动沟通数和形的密切联系，运用直观的形启迪抽象的数，在数与形的相互转化、相互渗透中，融会贯通，应用自如。

（吴小洁、丁君华，无锡市玉祁中心小学，214100）