多尺度分析滤波信噪比
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引言
脉冲中子－中子测井仪［1］（PulsedNeutron－Neu－tron，简称PNN）由奥地利HOTWELL公司生产，通过远、近2个3He计数管探测热中子，由热中子时间谱求取地层宏观俘获截面，进而求取含水饱和度。该技术检测的是未被地层俘获的热中子，其数目远远大于地层俘获的热中子数目，因此避免了伽马射线统计误差的影响。但是，由于其计数效率较低，导致热中子计数率统计起伏较大。为了减少热中子计数率的统计起伏，提高测井资料的可信性，需要对PNN测井曲线进行滤波处理，以提高测井曲线的纵向分辨率。目前常用的测井信号滤波方法是基于经典傅氏变换的去噪方法和在傅氏变换延伸出来的滤波方法［2］，虽然可以滤除高频干扰成分，但是无法对测井信号进行多尺度分析。近年来，小波理论由于其良好的时频特性，在信号分析和图像处理等方面得到广泛的应用，并且取得了良好的效果。以小波变换为基础的时变信号去噪方法利用信号和噪声表现出的完全不同的特性进行时频处理，通过对高频部分进行适当的处理就可以达到去噪的目的。本文利用小波系数模极大值算法及交错投影法（AP）重构算法，对PNN测井SSN曲线进行滤波处理，在获得较高信噪比的同时，有效保留了信号的突变性质，取得比较满意的效果。
1PNN测井信号的模型建立PNN测井基本原理［3－4］是利用脉冲中子发生器向地层发射能量为14MeV的快中子，经过一系列的非弹性碰撞和弹性碰撞过程，当中子能量与组成地层的原子处于热平衡状态时，中子不再减速，变为热中子。此时它的能量是0．025eV，热中子在地层中扩散并与原子核发生俘获辐射核反应。其中中子源发射脉冲宽度为1～3μs，而探测器时间谱每30μs为1道，记录30～1800μs的热中子计数，发射脉冲间隔为75ms。PNN测井长短源距分别为72．5cm和42．5cm，实际测井得到的是长源距计数率曲线（LSN）和短源距计数率曲线（SSN）。含噪PNN测井信号模型可表示为f′（x）＝f（x）＋e（x）（1）式中，f′（x）为原始测井信号；f（x）为有用测井信号；e（x）可看作高斯白噪声。将含噪测井数据f′（x）进行多尺度小波变换，然后在各尺度下提取有用信号的小波系数而去除属于噪声的小波系数，最后进行多尺度重构，从而得到有用信号f（x）的一个最优逼近信号，以达到去噪的目的。2小波模极大值去噪算法2．1函数的奇异性信号在某处通常不连续或某阶导数有间断，这些点通常包含了信号的重要信息，经常用Lipschitz指数表征信号的这种突变特征。如果函数x（t）在t0附近满足条件0处的奇异性指数为α。α值越大，函数越光滑；反之，则越奇异。
2．2信号和噪声在小波变换下的特性根据小波变换与刻划信号奇异性的Lipschitz指数之间的密切关系，可通过小波变换确定信号的随尺度j的增大而增大；α＜0时，信号小波变换的模极大值随尺度j的增大而减小；α＝0时，信号小波变换的模极大值不随尺度j的变化而变化。一般而言，测井信号的Lipschitz指数往往大于0，噪声对应的Lipschitz指数是小于0的。信号在不同尺度上的小波变换模极大值包含了信号中最重要的信息，这是基于小波变换模极大值进行信号突变点检测的基本依据［7］。对测井信号进行小波变换时，随分解尺度的增加，有用信号的小波变换模极大值增大，而噪声的小波变换模极大值将减小。即在小波变换下，PNN测井信号和噪声随尺度的传播特性截然相反。利用信号和噪声这种截然不同的特性，可以达到去除噪声的目的。
2．3去噪算法噪声的小波变换系数模极大值随尺度增加而减小，因而在较大尺度上保留下来的是有用信号的小波变换模极大值。具体算法步骤为（1）选取最优小波基及分解尺度，对原始测井信号进行二进小波多尺度分解。分解尺度小，有用信号与噪声的小波系数没有完全分开，会生成许多伪极大值点；尺度过大，有用信号的局部特征可能被去除。合适的分解层数应该兼顾2个方面，既可很好地去除噪声的影响，又能尽量地保留有用信号，分解尺度j一般选择3～5层为宜，求出每一尺度j上的模极值点的位置。（2）求出最大尺度j上的小波变换模极大值点。选择阈值thr，将小于阈值的模极大值点置0。（3）在尺度j－1上寻找最大尺度j上的模极大值点的传播点，保留由信号产生的极大值点，去除噪声极大值点。（4）在尺度j的模极大值点位置构造1个邻域O（nji，εj），其中nji为尺度j上的第i个极大值点；εj为与尺度有关的常数。在尺度j－1上保留落在邻域内的极大值点，去除落在邻域外的极大值点。从而得到尺度j－1上的极大值点。重复以上步骤，得到其余尺度上的极大值点，直到j＝2为止。（5）在j＝2的极大值点的位置上保留j＝1的极大值点，将其余位置上的极大值点置0。（6）根据每一尺度上保留下来的小波变换模极大值，选择交错投影法（AP），对测井信号进行重构。
2．4信号重构方法利用多尺度边缘重建算法恢复原始信号，即直接利用各尺度上的小波变换模极大值及其位置重构信号［8］，会产生很大的误差。具体做法是在寻找各个尺度上的模极大值点时，把极大值点以外的小波系数全部置0，再对模极大值点进行取舍。本文利用Mallat提出的经典AP算法［6］重构小波系数，可以减小重构过程中误差的产生。利用各个尺度上保留下来的小波变换模极大值对小波系数进行小波系数重构，对小波系数进行逆变换，得到滤波后的信号。
3实例研究
3．1算法的正确性验证为验证小波变换模极大值去噪算法的正确性，选取MATLAB中自带的leleccum信号进行验证。在信号leleccum中加入随机的噪声，采用db4小波进行j＝4层多尺度分解。图1（a）是原始图像leleccum图，图1（b）是加噪的图像，图1（c）是滤波后的图像。从图1（c）可见，小波变换模极大值方法可以有效去除随机噪声，并很好地保留信号的细节信息，这就为利用小波变换模极大值方法对PNN测井信号滤波提供了理论依据。图1算法验证效果图
3．2最大尺度上阈值的选取阈值的选取，应以能在最大尺度j上将对应于信号和对应于噪声的模极大值分开为原则。阈值的选取应根据信号和噪声的具体特性，尤其是希望阈值的选取能根据SNR具有自调节功能。通常取thr＝max［Wd2jf（n）］level（4）式中，thr值的选取没有考虑到噪声的影响因素，如果阈值thr偏大，有用信息损失过多，误差随之增大；如果阈值thr太小，噪声没有剔除干净，达不到去噪的目的。在最大尺度上设定合适的阈值，以确定最大尺度上应该保留的模极大值点，令level（5）式中，C是一个可以任意调节的参数，根据噪声和信号的具体特性确定，若信号的信噪比SNR较大，有用信号的模极大值幅值也较小，C应该尽量小一点，就可以很好地将噪声消除；反之，C应该大一点。
3．3邻域的选择信号的去噪质量易受各尺度下信号模极大值的影响，因此，合适的选取邻域尤为关键。邻域εj需要根据信号的具体特征进行选择（见表1）。一般地，小尺度上，小波变换模极大值分布比较密集，可以选取小的邻域值，保证不会漏掉有用信号的模极大值点；尺度的增加导致小波变换模极大值点分布越来越稀疏，邻域的选取应该适当加大。则将作为1个点而保留（x′00）。重复该过程到第2层。的值选择太大，候选传播点过多，难以确定真正有用的模极大值点；太小，会把有用信息的小波变换模极大值去除掉，误差会随之增大。本文选取的最佳邻域值为ε
3．4实例分析基于以上分析及算法，采用db4小波基对某井PNN短源距采集到的SSN测井曲线进行j＝4层滤波处理。图2为不同
尺度上细节系数及近似系数图，纵坐标为小波变换尺度，横坐标为深度。由图2可见，对原始测井信号成功进行了信噪分离。d为信号的细节系数，主要为噪声部分，并且是很不规则的。可以看出，噪声主要分布在较小的尺度上。a为信号的低频信息，随着分解层数的增加，信号的发展趋势表现得越来越明显，高阶的曲线明显得比低尺度的曲线平滑得多，因而更能反映信号的真实性和稳定性。图2不同尺度上近似系数及细节系数图图3为信号的不同尺度上尺度模极值传播点位置图。可以看出，随着尺度的不断增加，小波变换模极大值点分布越来越稀疏，这是因为噪声对应的模极大值点被剔除了，对应有用信息的较大的模极大值点被保留的缘故。图4为处理后的小波变换模极大值点传播图。由图4清晰地看出，通过选取合适的阈值和邻域，应用上述的模极大值点处理方法，可以有效去除噪声产生的模极大值点。图5为重构信号及误差图。从图5可以明显看出，原始SSN曲线经过小波变换模极大值滤波之后，可以有效去除噪声的影响，曲线变得比较光滑，并且很好地保持了测井曲线的几何形状和幅值等信
4结论
（1）根据PNN测井信号和噪声的小波变换模极大值在小波各个分解尺度上的不同传播特性，建立了一种基于小波变换模极大值的PNN测井信号滤波方法。（2）计算结果表明，基于小波变换的模极大值法可以较好地去除测井信号的噪声影响，保留有用信息，且重构信号误差很小，是一种比较理想的滤波方法。（3）小波模极大值处理时阈值、邻域的选择确定比较困难，在选择方法上应进一步研究。