巧添辅助圆妙解中考题

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有一类综合性、技巧性、隐蔽性较强的平面几何问题，表面上纯属直线型问题的题型，而利用直线型的有关知识解答可能很复杂，甚至很难找到解决问题的思路和途径，若能根据题目的本质特征，对题设条件进行认真分析，仔细观察图形，挖掘题设中所蕴涵的内在条件潜力，找出与圆的知识相关联的背景条件，恰当地构造辅助圆模型，往往可化隐为显，化难为易，化繁为简，很快找到解题思路，为解题提供新的途径.

例1（2013年武汉中考卷）如图1，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于cG，连接BE交AG于点H、若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是.

图1解析取AB的中点O，以点O为圆心，OA的长为半径作O，连接OH、OD，易证BAE≌CDF（SAS），所以∠ABE=∠DCF，因为BD是正方形ABCD的对角线，所以ADG与CDG关于BD对称，则∠DCF=∠DAG，所以∠DAG=∠ABE，因为∠ABE+∠AEB=90°，所以∠DAG+∠AEH=90°，所以∠AHB=90°，即A、B、H三点在O上，因为O是AB的中点，所以OH=12AB=1，因为OH+DH≥OD，所以DH≥OD-OH=5-1，即当点O、H、D共线时，DH的长度最小，最小值为5-1.

评注本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等性质、直径所对圆周角是直角、三角形的三边关系，确定出DH最小时点H的位置是解题关键，也是本题的难点，属于难度较大的题目.本题图形中存在一个隐圆，圆的半径是一个定值，OD的长也是一个定值，通过巧妙添设辅助圆，求最小值的问题就转化为圆外一点到圆上一点的最小值问题，利用圆的有关性质轻松化解了几何最值问题.

例2（2014年重庆中考A卷）如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CFBE，垂足为F，连接OF，则OF的长为.

图2解析以BC中点G作作G.因为∠BOC=∠CFB=90°，所以点O、B、C、F四点共圆，圆心为BC中点，则∠BCO=∠OFB=45°，所以BOF∽BED，则BOBE=OFED，因为DE=2CE，所以ED=4，因为BD=BC2+CD2=62，所以OB=32，根据勾股定理得BE=BC2+CE2=210，所以OF=32×4210=655.

评注本题以学生熟悉的正方形为载体，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、四点共圆的性质以及勾股定理的应用.图形中∠BOC=∠BFC=90°，即RtBOC和RtBFC具有公共斜边BC是作辅助圆的隐含条件，因此通过作辅助圆是解答本题的关键.

例3（2014年雅安中考卷）如图3，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，CDE是直角三角形，∠CED=90°，∠DCE=30°，OE=6+22，则正方形的面积为（）.

A.5B.4C.3D.2

图3解析以CD中点I为圆心，IC长为半径作I，过D作DFOE于F，设CD=2x，则CE=CDcos30°=3x，DE=CDsin30°=x，因为∠COD=∠CED=90°，所以O、C、E、D四点共I，因为OD=OC，所以OD=OC，则∠DEO=45°，∠DOF=30°，则DF=EF=22x，OF=DFtan30°=62x，所以62x+22x=6+22，解得x=1，所以SABCD=4x2=4，故答案选B.

评注本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，图形中存在公共斜边的两个直角三角形RtCOD、RtCED，即∠COD=∠CED=90°是解决本题的突破口，以CD为直径构造辅助圆I，I始终经过点O、E，即O、C、E、D四点共圆，道是“无圆却有圆”，使得问题解决变得更加容易.

例4（2015年武汉中考卷）如图4，ABC，EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M.当EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（）.

A.2-3B.3+1

C.2D.3-1

图4解析连接AD、DG、BO、OM，如图4.因为ABC，EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，所以ADBC，GDEF，DA=DG，DC=DF，所以∠ADG=90°-∠CDG=∠EDC，DADC=DGDF，那么DAG∽DCF，即∠DAG=∠DCF.所以A、D、C、M四点共圆.根据两点之间线段最短可得：BO≤BM+OM，即BM≥BO-OM，当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，此时，BO=BC2-OC2=22-12=3，OM=12AC=1，则BM=BO-OM=3-1.故答案选D.

评注本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆的判定、勾股定理、两点之间线段最短等知识，求出动点M的运动轨迹是解决本题的关键，此题解法与例1的解法类似.图5

例5（2016年鄂州中考卷）如图5，AB=6，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1=120°，P是直线l上一点.当APB为直角三角形时，AP=.

解析作辅助圆如图5所示，然后分四种情况讨论如下：

（1）在RtAP1B中，因为∠1=120°，OP1=OB，所以∠OBP1=∠OP1B=30°，则AP1=12AB=12×6=3；

（2）在RtAP2B中，因为∠1=120°，OP2=OB，所以∠P2BO=∠OP2B=60°，所以AP2=ABcos∠P2BO，即AP2=32×6=33；

（3）P3B为以B为切点的O的切线，因为∠1=120°，所以∠P3OB=60°，在RtOP3B中，BP3=OBtan∠P3OB=3×tan60°=33，所以在RtAP3B中，AP3=AB2+BP23=62+（33）2=37；

（4）P4B为以A为切点的O的切线，因为∠1=120°，所以∠P4OA=60°，在RtOP4A中，AP4=OAtan∠P4OA=3×tan60°=33.

综上所述，当APB为直角三角形时，AP=3，或33，或37.

评注本题虽然给出了基本载体图形，但是由于RtPAB位置没确定，且哪个角是直角没有明确，故需分三种情况讨论：即当∠APB=90°、∠ABP=90°、∠PAB=90°时分别画出图形.当∠APB=90°时，再分点P在线段AB上方或在线段AB下方两种情况讨论.谨慎利用分类讨论，数形结合思想是解答此题的关键，试题题难度虽然不大，但容易遗漏.因此，在探讨直角三角形存在问题时，利用辅助圆模型按照一定的原则进行分类，做到不重不漏，最后还要综合各种情况解答，本题图形中有公共端点的等线段，通常以公共端点为圆心，等线段长为半径，构造辅助圆来解答会使问题解决变得更加容易.

综上所述，有些几何问题貌似与圆无关，但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息，此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆，将直线型问题转化为曲线型问题来解决；构造辅助圆的解题的关键是要善于发现隐含于题设中与圆有关的信息，抓住题目的特征，拓宽解题思路；通过构造辅助圆这种解法虽不常用，但由于特殊的图形背景模型（公共斜边的直角三角形或公共端点的等线段），学生容易看到隐约闪现的“圆”，巧妙添加辅助圆常可以沟通直线型和圆的内在联系，通过圆的有关性质找到解题途径；借助辅助圆解题是比较生疏的一种解题方法，但同时又是一种行之有效的解题方法，它也是得到几何问题殊的数量关系与位置关系的自然解法，有时在解题不能找到很好的解题方法的情况下不妨试一试，也许会给我们解题带来许多惊喜.