利用幂级数的和函数求常数项级数的和

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【摘要】本人通过对四个实例的解析，尝试用求幂级数的和函数的方法来求常数项级数的和。

【关键词】幂级数 幂级数的和函数 常数项级数的和

一、问题的提出

高等数学中无穷级数部分运用的是从一般到特殊的认知规律。幂级数、幂级数的和函数等是在常数项级数基础上研究的。对于收敛的常数项级数的和如何求没有一个统一的方法，有些可以将一般项拆成若干项的差的形式之后用常数项级数的和的定义求；收敛的等比级数，有求和公式。但有些常数项级数，不能用上面的方法求和，可以通过求幂级数的和函数来求解。

二、问题的解析

例1 求级数 的和。

分析：可以考虑幂级数 ，若能求出

它的和函数，则所求级数的和即为和函数中自变量x=■时的值，求和函数应根据幂级数的性质―“幂级数可以逐项求导数与逐项求积分”来求。

解：设 ，则

例2 求极限

分析：本题由于括号内是无穷多项的和，因此不可以用“和的

极限等于极限的和”来求，实际上，

是求常数项级数的和的问题，例1给我们以启迪，构造幂级数■nxn，则所求常数项级数的和即为和函数中自变量x=■时的值。

例3 求级数 的和。

分析：此题的关键仍是构造幂级数，对照马克劳林级数中的

，

又由于所求级数的分子有n，可设 。

解：令 ，它的收敛域为（-∞，+∞）

于是，

例4 将

分析：显然 与展开成的幂级数有关，而f（x）的展

开宜先展 后求导，这里有一个技巧问题。

三、结束语

上面四个例题都是求收敛的常数项级数的和，例1至例3类似，都需先构造出与所求级数有关的幂级数，然后求出幂级数的和函数。对于求和函数有一个“先逐项求导数”还是“先逐项求积分”的选择问题，选择的要求是“逐项求导数”或“逐项求积分”后得到的新级数的和函数可以求出。例4则要求把f（x）展开成的幂级数

化为与 有关的幂级数。总之，知识之间是相互联系的，

由于有了马克劳林级数及幂级数求和函数的重要性质，一些求常数项级数的和的问题可以通过求幂级数的和函数来求解。