非参数自回归理论探究及其实际应用

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【摘要】本文仿照非参数回归模型的一系列理论推导，探究了非参数自回归模型的类似的理论和方法。并针对N-W核估计和局部多项式估计进行了公式推导，最后用我国的CPI数据进行了实际应用，体现了非参数方法的优势所在。

【关键词】非参数自回归，N-W核估计，局部多项式估计，CPI

一、非参数自回归模型

类似非参数回归模型，考虑如下的非参数自回归模型（p阶自回归）：

（1）

其中，解释变量Xt∈Rp是由被解释变量Yt∈R的一些滞后项组成的（p为正整数）；随机误差序列{εt}独立同分布， ，并且εt与Xs（s≤t）相互独立；函数m（・）称为自回归函数（或条件均值函数）。

（一）自回归函数估计

对自回归函数m（・）进行估计，当函数的假设模型正确而模型中参数未知时，参数估计是最好的估计方法。但实际中，我们常难以确定符合实际问题的函数模型及其参数，而基于数据驱动的非参数估计方法可以仅从我们掌握的大量观测数据出发，实现对m（・）的估计。Nadaraya-Watson（N-W）核估计和局部多项式估计是最常用的非参数估计方法。

1、N-W核估计

设X表示k个连续时序变量所构成的向量变量，令Xk=[x1，x

2，...，xk]T，若已知时序向量Xk的n个样本Xk，i=[y1i，y2i，...，yki]T，i=1，2，...n，则Xk的联合概率密度函数f（Xk）的核密度估计为

（2）

其中，hj是第j个时序变量的窗宽，k（・）为核函数。通常，核函数的选择可以有多种：如均匀、三角、高斯等。选择何种核函数不是核密度估计中最关键的要素，因为选用任何核函数一般都能保证核密度估计具有稳定相合性。

（3）

经过一系列推导，得出（3）式就是m（・）的非参数N-W核估计（高斯核） 的表达式。

2、局部多项式估计

局部多项式估计的主旨思想是假设单变量自回归函数m（x）在时序点x=y0处的（k+1）阶导数存在。并且在时序点y0的局部邻域x内进行泰勒展开。局部多项式估计中，有3个关键要素：阶数k、窗框h和核函数k（・）。并且在局部多项式估计中，阶数k和N-W核估计中维数k意义并不相同。

（二）滞后阶数k的选择

在非参数自回归模型中，与非参数回归模型的一个最大的区别，就是对某个样本数据进行模拟和预测时，首先要确定模型的滞后阶数k的值。本文使用比较常用，也比较简单的Cross-Validation方法。

二、实例分析

（一）样本数据的选择与处理

这里采用的是我国2004年1月至2011年12月的居民价格指数（CPI）的数据。对CPI数据进行单位根检验，ADF和PP的p值均大于0.05，可以认为存在单位根，序列不平稳。因此对CPI数据进行一阶差分，此时单位根检验p值很小，为平稳序列。

（二）非参数自回归建模

对我国CPI的一阶差分序列建立非参数自回归模型，首先利用上述的Cross-Validation方法确定滞后阶数k，当k=1时，cv（k）的值最小，因此非参数自回归模型为：

（4）

图1给出了用N-W核估计和局

部多项式估计（泰勒展式为1阶）对

CPI的一阶差分序列进行拟合的图

形。N-W核估计为实线，局部多项式

估计为虚线，其中N-W核估计采用的

是经验法选取的窗宽，局部多项式

估计采用的直接插入法选取的窗宽。

图1非参数方法对CPI数据的拟合

（三）与传统方法比较

为了验证非参数方法的好的效果，这里对CPI的一阶差分序列建立AR（1）模型，对以上三个模型得出的结果进行运算，表1给出了比较结果。

*均方误差=偏差的平方+方差

从MSE的值可以看出，N-W核估计的值最小，非参数方法要优于参数方法。但是这里有一个缺陷，就是在对CPI的一阶差分序列建立ARMA模型时候，可以选择AR（2），AR（3）或者更复杂的模型，但是那样就无法做比较，所以模型的选择局限了参数方法的优越性。

参考文献：

[1]李竹渝，鲁万波，龚金国.《经济、金融计量学中的非参数估计技术》.2007，（6）.

[2]代洪伟，凌能祥.居民消费价格指数的非参数自回归模型[J].佳木斯大学学报，2012，（1）.

[3]张守一，葛新权，王斌.非参数回归及其应用[J].数量经济技术经济研究，1997，（10）.