关于不定方程x3±133=Dy2
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摘 要 给出了方程x3±133=Dy2的全部非平凡整数解，其中D∈N，无平方因子，且不能被3或6k+1型素因子整除。
关键词 不定方程；非平凡整数解；同余
x3+1=Dy2，D>2 ,无平方因子，且不能被3或6k+1型素因子整除。 （1）
x3-1=Dy2， D同（1）式 （1c）
Ljunggren证明了最多只有一组正整数解。柯召与孙琦证明了（1）与 （1c）均无非平凡整数解。本文给出方程
x3+133=dy2，D■N,无平方因子，且不能被3或6k+1型素因子整除。 （2）
x3-133=Dy2， D同（2）式 （2c）
的全部非平凡整数解。
定理1 方程（2）满足条件x
（5，2，21），（5，122，603），（7493，22466，38901），（166522，1998251，6922122）
证明：（Ⅰ）若13?x，令x=13x1，式（2）化为
133(x13+1)=Dy2 （3）
因D无平方因子，所以必有13?y，令y=13y1，式（3）化为
13(x13+1)=Dy12 （4）
又因D不能被6k+1型素因子整除，即13/D，则有13?y1 ，令y1=13y2，式（4）化为
x13+1=13Dy22 （5）
因为13D>6，所以式（5）无整数解。即不定方程（2）在此情形下无整数解。
（Ⅱ）若13/x，式（2）化为
(x+13) (x2-13x+132)=Dy2 （6）
因为(x+13,x2-13x+132)=1或3，下面分别进行讨论：
当（x+13,x2-13x+132）=1时，3/x+13， 3/x2-13x+132
?圯3/D，因此必存在两个互素的正整数 a,b，使得
x+13=Da2， x2-13x+132=b2 y=ab （7）
根据（7）式的第二个式子有： (2x-13)2+3×132 = (2b)2即
(2b-2x+13)(2b+2x-13)= 3×132 （8）
而（x,13）=1?圯(2b-2x+13,2b+2x-13)=1,
又D ∈N，?圯x+13>0，于是式（8）化为
2b+2x-13=3×13■2b-2x+13=1 （）或 2b+2x-13=13■2b-2x+13=3 （）
解（）有x=133D=146 解（）有x=48D=61
D=146,61时均有6k+1型素因子，不在讨论范围内。
当(x+13,x■-13x+13■)=3 时，必存在两个互素的正整数a,b使得 x+13=3Da■,x■-13x+13■=3b■ y=3ab（9）
由（9）式的第二个式子得(2x-13)■ +3×13■=3(2b)■即
(2b)■-3×(■)■=13■ （10）
令2b=X,■=Y，则式（10）可化为
X■-3Y■=13■ (11)
式（11）的解可表示为：
x=3Da■-13y=3ab(a>0,b>0)2b+■2Da■-13=?着（u±v■）■其中u,v满足13=u■-3v■,?着为Q■的任意单位当D不符号条件时舍去
x=3Da■-13y=3ab(a>0,b>0)2b+■2Da■-13=(2+■)■(4±■)■当D不符合条件时舍去
由于2b为偶数，因此n只能取奇数。所以(11)式的解(D,x,y)由下式给出■:
即 x=3Da■-13y=3ab(a>0,b>0)2b+■2Da■-13=(2+■)■(4±■)■当D不符合条件时舍去
当n=0时
?圯2b=622Da■-13=35 ?圯b=31Da■=24此时D不符合条件，舍去。
或2b=142Da■-13=3 ?圯b=7Da■=5 ?圯D=5x=2y=21
当n=1时
?圯2b=8542Da■-13=493 ?圯b=427Da■=253此时D不符合条件，舍去
或2b=1342Da■-13=77 ?圯b=67Da■=5?圯D=5x=122y=603
当n=2时
?圯2b=118942Da■-13=6867?圯b=5947Da■=3440此时D不符合条件，舍去
或2b=16822Da■-13=1075?圯b=931Da■=544此时D不符合条件，舍去
当n=3时
?圯2b=1656622Da■-13=95645 ?圯b=95968Da■=47829此时D不符合条件，舍去
或2b=259342Da■-13=14973 ?圯b=12967Da■=7493?圯D=7493x=22466y=38901
当n=4时
?圯2b=23073742Da■-13=1332163?圯b=1153687Da■=666088D=166522x=1998251y=6922122
或2b=3612142Da■-13=208547?圯b=180607Da■=104280此时D不符合条件，舍去
综上所述，不定方程（2）满足条件x
（5，2，21），（5，122，603），（7493，22466，38901），（166522，1998251，6922122）
定理2 方程2c满足条件x
参考文献:
[1]李复中.关于丢番图方程x3±125=Dy2 [J].东北师大学报(自然科学版).1996,(3):15-16.
[2] 柯召,孙琦.关于丢番图方程x3±1=Dy2[J].中国科学,1981,(12):1453-1457.
[3] Ljunggren W J.Acta Math.Acrd.Sci Hungar.1952(3),99-101.
[4]Ljunggren W.Satze uber Unbestimmte Gleichungen[J].Skr Norske Vid Akad Oslo I,1942,(5):53-54.