在非平衡态中选取相关的非惯性参考系求解未知力问题

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不管选取谁为参考系，在参考系中处于“平衡态”的物体所受力总可以画成首尾相连的多边形，物体受到三个作用力时，可以画出力的首尾相连的矢量三角形，就这个矢量三角形的边角关系来说总是与物体所受作用力和之间互成的角度对应.马克思说：“一种科学，只有在成功地运用了数学时，才算达到真正完善的地步.”

1在重力场中水平方向随小车加速运动的小球，已知重力mg、水平方向的惯性力f*=ma，依据三角形法则确定杆的弹力

例1如图1所示，小车沿水平面向右做匀加速直线运动，车上固定的硬杆和水平车面的夹角为θ，杆的顶端固定着一个质量为m的小球，当小车运动的加速度逐渐增大时，杆对小球的作用力（F1至F4变化）的变化图示可能是如图2所示的.

解析选取沿水平面向右做匀加速直线运动的小车为非惯性参考系，给小球加上向左的惯性力f*=ma，这时在小车上看小球受到的重力mg、水平向左的惯性力f*=ma和弹力F三力平衡，可画成首尾相连的矢量三角形，加速度a1、a2、a3及a4依次增大，对应的惯性力f*1=ma1、f*2=ma2、f*3=ma3及f*4=ma4依次增大，如图3所示.因此正确选项为C.可见杆对小球的弹力不一定沿着杆.

析评在非惯性系中，处于f*“平衡态”下根据力的矢量三角形图示，知道竖直的直角边为mg，水平的直角边为惯性力f*，那么斜边为杆的弹力F，杆的弹力F随惯性力f*的增大而增大，且与竖直方向的夹角随惯性力f*的增大而增大，方向与杆的仰角θ无关.

2在电场中，在非惯性系中做匀变速直线运动的小球，已知重力mg、沿运动方向的惯性力f*=ma，再结合约束条件“mg=qE”，依据三角形法则确定电场力

例2（2012年重庆考前训练）如图4所示，一质量为m、电荷量为q的小球在电场强度为E、区域足够大的匀强电场中，以初速度v0沿ON在竖直平面内做匀变速直线运动. 与水平面的夹角为30°，重力加速度为g，且mg=qE，则

A.电场方向竖直向上B.小球运动的加速度大小为g

C.小球上升的最大高度为v202g

D.若小球在初始位置的电势能为零，则小球电势能的最大值为mv204

解析带电小球m以初速度v0沿ON在竖直平面内做匀变速直线运动，即以恒定加速度a的匀变速直线运动，有匀加速和匀减速两种情况.下面选取沿ON方向，以恒定加速度a的匀变速直线运动的物体为非惯性参考系，在这个非惯性系中给带电小球m加上惯性力f*后处于三力平衡的“平衡态”.

1.带电小球m以初速度v0、加速度a，做匀加速直线运动，在非惯性系中带电小球受到重力mg、电场力qE和所加沿ON反方向的惯性力f*，三力“平衡”，如图5所示，重力mg与惯性力f*互成60°，矢量三角形中电场力qE所对的角为120°，不难看出，三角形中大角所对的边大，重力mg和电场力qE没办法相等，不满足约束条件“qE=mg” .所以此情况不存在，无电场方向可言.

2.带电小球m以初速度v0、加速度a，做匀减速直线运动，在非惯性系中带电小球受到重力mg、电场力qE和所加沿ON方向的惯性力f*，三力“平衡”，如图6所示，重力mg与惯性力f*互成120°，矢量三角形中电场力qE所对的角为60°，如果是等边三角形，一定满足约束条件“qE=mg”.此情况是符合题设的唯一情境.那么题意涉及的匀强电场与竖直方向成60°（与ON成120°）斜向上.选项A错误；由力的矢量三角形为等边三角形，f*=ma=mg，选项B正确；带电小球沿ON方向前进的最大距离Lm=v202g，上升的最大高度为Hm=Lmsin30°=v204g，选项C错误，带电小球沿ON方向前进最大距离时，初始位置与最大位置处的等势面间的距离d=Lmsin30°=v204g，电势能增加ΔE=qEd=mgd=mv204，选项D正确.所以选项B、D正确.

析评由“平衡态”下根据力的矢量三角形图示，知道竖直方向的边为mg，ON方向上的边为惯性力f*，那么结合约束条件“qE=mg”知矢量三角形一定是等腰三角形，进而有一个内角为60°，而确定为等边三角形，即有mg=qE=f*，而来确定电场的方向.

法国科学家笛卡尔说过：“最有价值的知识，是关于方法的知识.”德国科学家玻恩曾说过：“我荣获1954年的诺贝尔奖，与其说是因为我所发表的工作里包括一个关于自然现象的新发现，倒不如说是因为那里包括一个关于自然现象的新思想方法基础的发现.”