从十进制的认识看“变教为学”的过程性

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在“变教为学”教学改革的实践中，有学校通过一节课“前测”和“后测”正确率的对比来检验学生的学习效果。如果后测正确率高，认为教学效果就好，反之则说明教学效果差。这样的评价方式是否恰当是值得商榷的，究竟应当如何评价一堂课的教学效果？本期专题希望引发相关的讨论。

应当相信，学生的学习是一个循序渐进、螺旋上升的过程。对知识的理解是过程性的，是逐步深入的。这样的过程不仅包括对结论的记忆与应用，还应当包括对知识发生与发展过程的经历、体验和感悟。因此，任何知识的学习不可能是短时间可以完成的。在一些地区和学校采用的通过一节课“前测”和“后测”正确率的对比，评价学生的学习效果以及教师的教学效果的做法，有急功近利之嫌，是值得商榷的。

“变教为学”倡导的教学是过程性的，学生的学习是在感知、思考和交流的活动中逐渐感悟的过程。这样的过程所需要的时间可能是相当漫长的，是不能用一时一事的“对与错”或者“好与坏”进行评价的。对知识背后所蕴含的思想性以及方法性内容的理解水平，也不是通过结果的正确与错误能够看出来的。

以“十进制”为例，有一种说法认为数学中的十进制的本质就是“位值（Place Value）”，学会了这个内容，就掌握了十进制。因此认为小学一年级“11～20各数的认识”这一课就是学习十进制，这个内容学好了就意味着掌握了十进制。这种认识实际上是误解了十进制的本质及其所包含的内容。

十进制的本质属性是一种“人造（Artificial）”的语言，用以记录和表达数及其运算，因此属于发明（Invention）的知识。论及发明知识的本质，首先应当揭示出发明的原因，也就是要回答人“为什么发明”这样的问题，发明的原因主要应当包括两个方面，第一是“客观基础”，第二是“主观意愿”或者“主观需求”。十进制可以说是起源于人类活动中的“数数（音： shǔ shù）”和“测量”，也就是对量及其关系的记录和表达。这些活动的客观基础应当是客观存在的量的“多与少”以及“大与小”等，人类的活动中对于客观存在的量就有记录和表达的主观需求。比如，以物易物的交易活动中需要记录多与少，出行时需要记录距离的近与远，做工时需要记录时间的长与短，等等。

我国古时出现的“结绳”和“刻痕”，实际上就是记录和表达这样过程的方法。正如《易经》中所说，“上古结绳而治，后世圣人易之以书契”，其中的“书契”就是在物体上刻痕。[1]随着人类文字语言的出现与发展，人们开始用符号记录并表达数数与测量的过程和结果。不同地域、不同文化在历史上出现过许多不同类型的数字符号。比如，古希腊用27个希腊字母表示数，古罗马采用的罗马数字，等等。现在普遍使用的十进制数字符号是古代印度发明的，后来经阿拉伯传到欧洲，因此叫作“印度―阿拉伯记数法”，所使用的数字符号叫作“印度―阿拉伯数字”，有时也简称为“阿拉伯数字”。

从字形上看，印度―阿拉伯数字与汉语中的数字应当是同源的。比如，汉字中的“二”是由两条横线构成的，如果快速书写就会出现连笔，连笔书写的“二”就会成为“”的形状，与数字“2”的形状基本相同。同样快速连笔书写“三”，就会出现“”的形状，与数字“3”形状相同。因此有理由相信，印度―阿拉伯数字符号与汉字的数字符号具有同样的渊源。

有了记录数的符号，接下来出现的问题是“数”有无限多，人们不可能发明无限多个符号去表示无限多的数。因此就有了“化无限为有限”的主观需求，用有限多的符号能够记录、表达无限多的数。为此，首先想到的应当是“以一代多”。所谓“以一代多”就是将“多个”看作“一个”，我国历史上流传至今的“画正字”的数数方法，就是每增加1就写一笔，写出一个完整的“正”字，就记录了一个五。因此一个“正”就表示五个1，体现了以一代多的想法。在英语中的一些词汇也反映出历史上人们使用过的方法，比如“Quinary”是把5个看作一个的意思；“Duodecimal”是把12个看作一个的意思；“Vigesimal”是把20个看作一个的意思；“Sexagesimal”是把60个看作一个的意思。

实现用有限个符号记录、表达无限个数的，除了目前熟悉的印度―阿拉伯记数法之外，在古代欧洲应用最为广泛的当数“罗马记数法”。这种方法是用有限的7个符号以及相关的规则，能够表达出所有的数。从1到10的罗马数字分别为：

Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ ，Ⅷ，Ⅸ，Ⅹ

其中仅仅用到了三个基本符号，“Ⅰ”代表“1”；“Ⅴ”代表“5”；“Ⅹ”代表“10”。用三个符号能够表达十个数，依赖的是人为规定并且约定俗成的组合规则，相当于语言中的语法。表达“2”和“3”运用了对“Ⅰ”的重复加倍。表达“4”和“9”运用的是“右减左”的规则，比如，“ Ⅳ ”就是“5-1=4”，“ Ⅸ”就是“10-1=9”。类似地，表达“6”“7”和“8”的规则是“左加右”，比如，“Ⅵ”就是“5+1=6”，“Ⅶ”是“5+2=7”，“Ⅷ”是“5+3=8”。全部罗马数字符号一共只有7个，除了从1～10中的三个符号之外，还有“L”代表“50”，“C”代表“100”，“D”代表“500”，“M”代表“1000”。这些符号组合起来表达数的规则主要有四条，前三条分别是前面提及的“重复加倍”“右减左”和“左加右”。比如，16世纪欧洲出版的一本记载希腊数学的书，封面显示该书的出版年代就是用罗马数字书写的。（见图1）

图1 罗马数字表达年代示意图

这个年代用前面介绍的符号和相应的规则可以通过下面的算式计算出来：

1000+500+50+10+10+10+5+1+1+1=1588

因此可以断定这本书的出版年代是公元1588年。

罗马数字表达数的第四个规则是针对大数的，可以叫作“加线乘千”，也就是在某符号上面画出横线，就表示将这个符号表示的数扩大1000倍。比如“”就代表“1000×50=50000”。

综上可以看出，罗马记数法包含两个要素，第一是七个数字符号，第二是将数字符号组合并关联的规则。由此就实现了对无限多数的记录和表达。人们经过对诸如此类记录方法长时间的使用和比较，逐步感受到印度人发明的十进制记数法更加便于掌握和计算，而且与人的10根手指相一致。

与罗马记数法类似，印度―阿拉伯十进制记数法同样也有两个类似的要素，第一是0～9的十个数字符号，第二是“满十变一”的规则，这一规则在写法上体现为“左移乘十”。比如“22”，右边的“2”代表2个1，左边的“2”就代表“2×10=20”。“22”的写法可以看作是“2×10+2”的缩写。同样的数字符号放在不同的位置上，就表示不同的值，因此称之为“位值”。与罗马记数法相比，印度―阿拉伯十进制记数法的规则相对简单，便于学习和使用。除此之外，这种记数法还有许多方面的优势。

数作为描述量及其关系的语言，一个重要内容就是比较大小。在整数范围内，印度―阿拉伯记数法比较两个数的大小的方法可以概括为：“位数相同看高位，位数不同长者大”，这样的方法简便易行，而且非常直观。相比之下，罗马记数法的大小比较就相对复杂。

十进制记数法的第二个优势是很容易推广到小数。前面所说的“左移乘十”反过来就是“右移缩十”，也就是右侧数字的位值是左侧数字位值的十分之一。这样小数与整数的记录方法就统一了。比如，整数22和小数2.2都符合“左移乘十”和“右移缩十”的规则。这就使得数学中“数系”的建立成为可能。

十进制记数法的另一个优势是便于运算。历史上对于数的运算是一个难题。特别是对于较大数的运算，人们一直追寻能够程序化的操作方法。现如今数学课程中的“竖式”就是这种程序化的操作方法，对于建立在数字符号和位值基础上的记数法，只需要做到“数位对齐”就可以进行程序化的运算了。[2]

综上可以看出，诸如0～9十个数字符号、位值、比较整数大小、数与数之间的运算、认识小数、小数比较大小、小数运算等内容都是以十进制记数法为基础的。不仅如此，其中蕴含着的对“有限与无限的关系”的感悟，对“以一代多”的方法的理解，都需要长期的过程，绝不是一节课能够实现的。因此在“变教为学”的实践中，需要耐心地等待，不能期望“浇水后立刻开花”。

参考文献：

[1]郜舒竹. 问题解决与数学实践[M]. 北京：高等教育出版社， 2012. P89.

[2]郜舒竹.回眸历史看竖式[J].教学月刊小学版（数学），2013（6）.

（首都师范大学初等教育学院 100048）