独立子波函数的理论分析
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【摘要】本文给出了独立子波函数理论的推导过程;然后结合目前已有的知识，给出一种独立子波函数的获得方法。在文章结构安排上，首先给出了独立子波函数的理论推导过程，然后运用EMD分解将一个信号分解成几个相互正交的信号，再将得到的相互正交的信号进行独立成分分析（ICA），得出几个相互独立的信号，即独立子波函数。
【关键词】独立子波函数;EMD分解;独立成分分析（ICA）
1.独立子波函数的理论推导
1.1 预备知识
1.1.1 直和的概念
设V1，V2，...，Vn是线性空间V的子空间，如果和V1+V2+...+Vn中每个向量的分解式，，，i=1，2，...，n是唯一的，则称这个和为直和，记为。
1.1.2 平方可积函数空间的定义
定义1：对于，空间表示所有平方可积函数组成的空间，即：
该空间也包含那些不连续的函数[1]。
1.1.3 正交补空间的定义
正交补空间是指线性空间互相正交的两个线性子空间。设V1和V2为线性空间V的两个线性子空间，如果对于任意的，存在唯一的和，使得：
成立，称V1和V2互为正交补空间。线性子空间V的正交补空间为[2]。
线性空间V上的正交补空间V1和V2具有如下的性质：
性质1：对于任意和，和正交，即内积=0;
性质2：V的任意一个线性子空间均有唯一的正交补空间;
性质3：正交补空间的维度满足：
性质4：正交补空间的交集为零点，即=0。
1.1.4 多分辨率分析理论
定义2：设为空间中的一系列闭合子空间。若下列条件成立，则称空间集合是一个多分辨率分析[3-4]：
性质1：即。
性质2：。
性质3：。
性质4：，若，则。
性质5：，若，则。
1.2 证明过程
令是一个依尺度函数的多分辨率分析，令Wj是Vj在Vj-1上的的正交补空间，由1.1.3正交补空间和1.1.1直和的概念我们可以得到[3]：
根据上式，当时，有：
根据1.1.4多分辨率分析的性质2和性质3，当，时，有：
由1.1.3正交补空间的性质1我们可以知道，对任一，可唯一地表示为一个和式，这里，而且相互正交。
在现实中，我们的绝大部分信号只需要经过有限次的分解，有限和式就可以以某一精度逼近原始信号。所以，对于任一信号，我们把空间做逐级二分解产生一组逐级包含的子空间[5]：
由1.1.3正交补空间的性质，那么s（t）就可以分解成在这些空间上的投影之和：
其中，。这样就将一个信号分解成多个信号，并且这些信号是正交的。
接下来，我们将上面得到的N个正交信号，采用ICA估计方法[6]，得出M个相互独立的信号，在这里，我们将经过独立分量分析（ICA）处理得到到M个相互独立的信号称之为独立子波函数。并且源信号s（t）以由这些独立子波函数的某种线性叠加所重构。即[7]：
式中，cm为重构系数。从而得出任何一个信号能够由一系列加权的独立子波函数的线性叠加所构成的结论。
2.使用EMD方法获取独立子波函数
2.1 算法步骤
（1）通过EMD方法对s（t）进行分解得到n个IMF分量;
（2）利用ICA方法对得到的n个IMF分量进行处理，得到n个相互独立的信号即独立子波函数。
2.2 实验仿真
源信号s（t）为混叠信号（如图1所示），通过对混叠信号s（t）进行EMD分解得到的IMF分量如图2所示，EMD是根据频率的不同来分解信号的，从图2中也可以看出，IMF分量的频率逐渐减少。考虑到源信号由4个信号叠加，所以，在这里我们将最后2个IMF分量叠加到第4个IMF分量，然后将新形成的4个IMF分量进行独立成分分析（ICA），得到4个独立子波函数，如图3所示。
其中：t=0：0.001：1。
图1 原始混叠信号
图2 分解得到的IMF分量
图3 独立子波函数
3.结论
本文首先给出了独立子波函数的理论推导过程，得出了任何一个信号能够由一系列加权的独立子波函数的线性叠加所构成的结论。然后给出一种能够得出独立子波函数的方法，即先通过EMD分解将一个信号分解成几个相互正交的IMF信号分量，再将得到的相互正交的IMF信号分量进行独立成分分析（ICA），得出几个相互独立的信号，即独立子波函数。最后，通过Matlab仿真实验，将一个混叠信号进行EMD分解，在进行ICA处理，得出独立子波函数。
参考文献
[1]芮国胜，康健.小波与傅里叶分析基础[M].北京：电子工业出版社，2004：3-4.
[2]陈志杰.高等代数与解析几何[M].北京：高等教育出版社，2008.
【国家自然科学基金】（批准号：61271334）“心音特征提取和身份识别中新方法研究及应用”。
作者简介：汪玉培（1987―），男，河南新野人，南京邮电大学在读硕士研究生。