挖掘隐藏信息 提升解题能力
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摘 要：数学题中的某些条件，不是直接在已知条件中明显给出，而是一种在题目中未明确表达出来而客观又存在的条件，这种条件我们称为隐含条件。在解题过程中，它很容易被人们所忽视。隐含条件对解题的影响非常大，有些隐含条件如果挖掘不出来，往往给学生造成条件不足的假象，导致解题困难或者思维不严谨。有些隐含条件虽不影响解题的思路，但会使你得到错误的结论，发觉隐含条件实质是使题设条件清晰化、具体化，以便能寻找出正确的解题思路。因此，挖掘并利用好隐含条件，不仅可以迅速找到解题的突破口，而且能使解题过程简单明了。下面结合例题就如何挖掘题目中的隐含条件作一介绍。
关键词：隐含条件;数学解题能力;挖掘;已知条件;解题过程;题设条件;解题思路
例1 （2014・广西）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=10，a2为整数，且Sn≤S4。
（1）求{an}的通项公式;
（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn。
解析：本题许多学生无从下手，其实我们只要将Sn≤S4转化成文字语言：所有项之和都小于前4项，不就是考虑数列这个特殊函数的最值问题吗？s4时有最大值，那就意味着a4≥0，a5≤0，数列与不等式的结合信息就释放出来了，再结合d=a2-a1为整数，本题便可迎刃而解了。
二、将文字语言转化为符号语言，释放隐藏信息
例2？摇 设两圆C1，C2都和两坐标相切，且都过点（4，1）则两圆圆心的距离|C1C2|为（ ）
A.4 B.4 C.8 D.8
解析：设两圆C1，C2都和两坐标相切，包含两层意思：①圆心在y=x上，可设为（a，a），②半径r=a，则本圆可设为（x-a）2+（y-a）2=a2，将点（4，1）代入圆方程，求出a，本题便可迎刃而解了。
发散思维：空间直角坐标系中，与三个坐标平面都相切的球O上一点M到三个坐标平面的距离分别为3，2，1，则此球的半径为___________。
解析：原圆半径设为a，圆心设为（a，a，a），将点（3，2，1）代入方程即可。
三、有效挖掘数学概念、定理中的隐含条件，拓展解题思路
数学的概念是推导公式、定理的依据，也是解题常用的一把钥匙，它能为解题挖掘出最本质的条件，使解题简洁明快。
例3 （2015・课标Ⅱ）ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，ABD面积是ADC面积的2倍。
（Ⅰ）求;
（Ⅱ）若AD=1，DC=，求BD和AC的长。
解析：本题可以说大部分学生平时没练过，许多学生觉得题目太新，无从下手，其实这题只要把角平分线定义与面积隐藏的关系找到，入口很宽，解法每问有七八种之多，而并非只有角平线性质这一种，可以说角平分线性质记不记得无多少关系。
解法一：（Ⅰ）SACD=AB・ADsin∠ABD，SADC=AC・ADsin∠CAD，
因为SABD=2SACD，∠BAD=∠CAD，所以AB=2AC，由正弦定理得：。
（Ⅱ）因为=，所以BD=2DC=，在ABD和ADC中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD・BDcos∠ADB，AC2=AD2+DC2-2AD・DCcos∠ADC，AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6，由（1）知AB=2AC，所以AC=1。
解法二：（Ⅰ）AD平分∠BAC，则D到AB、AC的距离相等，设为h，SABC=×AB×h，SADC=×DC×h，由2，得AB=2CD，由正弦定理得：
（Ⅱ）因为，所以BD=2DC=由cos∠BAD
=cos∠DAC得，及AB=2AC可解出AC=1。
例4 在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MNAM，若侧棱SA=2，则此正三棱锥S-ABC外接球的表面积是（？摇？摇 ）
A.12π B.32π？摇 C.36π D.48π
解析：正三棱锥定义中隐含有对棱互相垂直，本题如果不注意这一点，很难找到突破口，即使找到其他方法，也会思路复杂，计算复杂，注意到这点，这两者皆简单，解法如下：
ACSB，又SB∥MN，且MNAM，SBAM，从而SB面SAC。
∠BSA=∠BSC=∠ASC=90°，以S为顶点，将三棱锥补成一个正方体，故球的直径2R=・SA，即R=3，S球=4πR2=36π，故选C。
四、从题目的结构中挖掘隐藏条件
解题时，若题设条件隐含着某些概念、公式具有类似结构的数式或图形信息，则应仔细观察，抓住结
构特征，往往能有效地挖掘隐含条件。
例5 （2010・浙江）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6+15=0。求d的取值范围。
解析：本题如果注意观察结构，不难发现隐藏有函数与方程的思想。
s5×s6+15=0，5（a1+2d）×3（2a1+5d）+15=0
2a21+9a1d+10d2+1=0
例6 解不等式：||x+3|-|x-4||<|2x-1|
解析：本题隐藏条件为：（x+3）+（x-4）=2x-1
由||a|-|b||<|a+b？圳ab>0，||x+3|-|x-4|||<|（x+3）+（x-4）？圳（x+3）（x-4）>0|
解得x>3或x<4，故原不等式的解集为{x|x>4或x<-3}。
五、关注解题过程中的每一步变形，从变式中挖掘隐含条件，拓展解题思路
关注解题过程中的每一步变形，从变形中挖掘隐含条件，则能拓展解题思维，使问题能得到顺利准确解答。
例7 已知sinx+siny=，求siny-cos2x的最小值和最大值。
解析：
从以上可知，数学问题中的“隐含条件”可隐藏于数学概念定理、题设条件、题目结论及解题的变形过程等多处，只有认真审题、深刻理解数学概念才能将其挖掘出来，达到正确、快速、有效地解决数学问题之目的。因此，在平时的训练过程中要求学生不能为“解题而解题”，应养成认真审题、深入挖掘各种可能的隐含条件及题后反思的良好习惯，从而真正培养分析问题、解决问题的能力。
（作者单位：广西柳城中学）