数学教学中学生发展思维的探索和挖潜
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摘 要： 数学思维能力是数学能力的核心，培养中学生的思维能力是教师教学的重要内容。
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2016）02-0100-02
函数是中学数学的重点内容，而抽象函数因其解析式的不具体而成为函数内容的难点之一，但因其又能很好地考查学生对函数概念的理解与抽象思维能力，因而在进几年的高考和各类竞赛中经常出现抽象函数方面的题目，本文就抽象函数的周期存在条件作一点探讨，从而得出一种简捷的求抽象函数周期的方法，以期能在这方面给大家一点启示。
定义：对于函数f（x），如果存在非零常数T，使得当x取定义域内的每一值时，都有f（x+T）=f（x）成立，那么函数f（x）是周期函数，并且周期为T。
定理1.对于函数f（x），如果存在一个非零的常数a，使得当x取定义域内的每一值时，都有下列条件之一成立时，那么f（x）是周期函数，并且周期为2a，即：
条件1：f（x+a）= -f（x）
条件2：f（x+a）=f（x-a）
条件3：f（a+x）=f（a-x）且f（x）是偶函数
条件4：f（a+x）=
证明：①由条件1及已知，对函数f（x）定义域内的任意x都有f（x+a）= -f（x）
所以f[（x+a）+a]= -f（x+a） =f（x） 即f（x+2a）=f（x）
所以函数f（x）的一个周期为2a
②由条件2 及已知，对函数f（x）定上域内的任意x都有f（x+a）=f（x-a）
所以f[（x+a）+a]=f[（x+a）-a]=f（x） 即f（x+2a）=f（x）
所以函数f（x）的一个周期为2a
③由条件3及已知，对函数f（x）定义域内的任意x都有f（a+x）=f（a-x），且f（x）是偶数
所以f[a+（x+a）]=f[a-（x+a）]=f（-x）=f（x）
即f（x+2a）=f（x） 所以函数f（x）的一个周期为2a
④由4可知，对f（x）定义域内的任意x都有f（a+x）=
所以f（x+2a）=f[（a+x）+a]= =f （x）
即f（x+2a）=f（x） 所以函数f（x）的一个周期为2a
定理2.对于函数f（x），若存在一个非零常数a，使得当x取定义域内的每一值时都有下列条件之一成立时，函数f（x）是周期函数，并且周期为4a。即：
条件5：f（x+a）= -f（x-a）
条件6：f（a+x）= -f（a-x）且f（x）为偶函数
证明：⑤由条件5及已知
因为f（x+a）= -f（x-a）
所以f（x+2a）=f[（x+a）+a]= -f[（x+a）-a]= -f（x）
所以f（x+4a）=f[（x+2a）+2a]= -f[（x+2a）= f（x）
所以函数f（x）的一个周期为4a
⑥由条件6及已知
因为f（a+x）= -f（a-x）且f（x）为偶函数
所以f（2a+x）=f[a+（a+x）]= - f[a-（a+x）]= -f（-x）= -f（x）
所以f（4a+x）=f[2a+（2a+x）]= - f（2a+x）= f（x）
所以函数f（x）的一个周期为4a
推论1.对于函数f（x），若存在两个非零常数a，b（a≠b）使得当x取定义域内的每一个值时，都有下列条件之一成立时，那么函数f（x）是以2（a-b）为周期的函数，即：
条件7：f（a+x）=f（a-x）且f（b+x）=f（b-x）
条件8：f（a+x）= -f（a-x）且f（b+x）= -f（b-x）
简证：⑦由条件7及已知
f[x+（a-b）]=f[a+（x-b）]=f[a-（x-b）]=f[b+（a-x）]=f[b-（a-x）]=f[x-（a-b）]
由定理1的条件2知，f（x）是以2（a-b）为周期的函数
⑧由条件8及已知
f[x+（a-b）=f[a+（x-b）]= -f[a-（x-b）]= -f[b+（a-x）=f[b-（a-x）]=f[x-（a-b）]
由定理1条件2知，f（x）是以2（a-b）为周期的函数
推论2对于函数f（x），若存在两个非零常数a，b（b≠a）使得当x取定义域内的每一值时，都有下列条件之一成立时，则f（x）是以4（a-b）为周期的函数，即：
条件9.f（a+x）=f（a-x）且f（b+x）= -f（b-x）
条件10.f（x+a）=f（x-a）且f（x+b）= -f（x-b）
间证：⑨由条件9及已知
f[x+（a-b）]=f[a+（x-b）=f[a-（x-b）]=f[b-（x-a）] Cf[b+（x-a）]= -f[x-（a-b）]
由定理2条件5知，f（x）是以4（a-b）为周期的函数
⑩由条件10及已知
f[x+（a-b）]=f[（x+a）-b]= -f[（x+a）+b]= -f[（x+b）-a]= -f[（x+b）-a]= -f[x-（a-b）]
由定理2条件5知，f（x）是以4（a-b）为周期的函数。
例1.设f（x）是R上的奇函数，且f（x+3）= -f（x）求f（2016）
解：由定理1的条件1知函数f（x）的周期
为T=2×3=6 所以有f（6k+x）=f（x） （k为非零整数）
又f（x）为R上的奇函数 所以f（0）=0
所以f（2016）=f（6×336）=f（0）=0
例2.设f（x）是实数集R为定义域的函数且满足：
f（x+10）=f（10-x） f（20-x）=-f（20+x）
则f（x）是（ ） （1992年全国高考中联赛题）
A.偶函数又是周期函数 B.偶函数不是周期函数
C.奇函数又是周期函数 D.奇函数不是周期函数
解：由推论2条件9可知，函数f（x）的周期为
T=4×（20-10）=40
又f（20-x）=-f（20+x）
所以f（-x）=f[20-（x+20）]=-f[20+（x+20）]=-f（40+x）=-f（x）
即：f（-x）=-f（x），所以函数f（x）是奇函数 故选（C）
例3：设f（x）是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x=1对称，对任意x1、x2：∈[0， ]都有f（x1+ x2）=f（x1）・f（x2）且f（1）=a>0
（1）、求f（ ）及f（ ）
（2）、证明f（x）是周期函数（2001年全国高考题）
解（1）（略）
（2）依题设y=f（x）关于直线x=1对称
由定义的条件3可知：f（1+x）=f（1-x）
用x-1代x得：f（x）=f[1-（x-1）]
故 f（x）=f（1+1-x） 即f（x）=f（2-x）， x∈R
由f（x）是偶函数知f（-x）= f（x） x∈R
f（-x）=f（2-x） x∈R
将上式中的-x以x代替得 f（x）=f（x+2） x∈R
这表明f（x）是R上的周期函数，且2是它的一个周期。