浅谈逻辑代数、逻辑函数、逻辑电路的概念

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摘要：数字电子技术中出现了逻辑代数、逻辑函数和逻辑电路的概念，怎么理解“逻辑”二字进而学好数字逻辑电路？本文从初等代数、初等函数出发，通过梳理其概念以及举例来说明和理解“逻辑”的含义。

关键词：数字电子技术；数字电路；逻辑代数；逻辑函数；数字逻辑电路

中图分类号：G642.3 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）25-0214-02

《数字电子技术》课程以及《模拟电子技术》、《信号与系统》课程是工科专业要求的重要的专业基础必修课，几乎同时开设的三门课。它们在内容上相辅相成、相互渗透，所以学好其中任一门课程对其他两门课程的理解和掌握都非常重要。本文以广泛应用的普通高校教育“十五”国家级规划教材及高等学校规划教材为基础，回顾初等代数、初等函数的概念再结合实例梳理逻辑代数、逻辑函数和逻辑电路中“逻辑”概念并给出它的本质意义。

一、初等代数、初等函数的概念

1.初等代数。初等代数研究对象是代数式的运算和方程的求解。归纳起来初等代数有五条基本运算律、两条等式基本性质、三条指数律。另外，初等代数还有四则运算、乘方和开方六种基本的代数运算。

2.初等函数。初等函数是初等代数的一个重要内容，其定义为：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量，记作y=f（x）。包括基本初等函数5个：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，及由由常数和基本初等函数构成的复合函数。[1，2]

由此可见，初等代数有自己的运算规则及基本性质，初等函数分基本初等函数和复合函数。下面先从逻辑代数、逻辑函数的引入着手归纳出它们和初等代数和初等函数的共性所在。

二、逻辑代数、逻辑函数和逻辑电路的概念及应用

（一）引例

1.如果天不下雨并能借到自行车或者城里放映一部好得惊人的电影，我就赶到城里去。

2.如果我没有课并且我的朋友也没有课并且天不下雨并能借到自行车或者城里放映一部有趣并且是大片并且好得惊人的电影，我就赶到城里去。

从上述引例可以看出，它们都是在一定条件下判断是否进城的例子。显然，第一个例子较第二个例子的条件来的简单。如果说条件更多的话，岂不用语言或用文字描述时就更加复杂？那么能否创造一种“语言”，把推理过程像数学一样利用公式来计算，从而得到是否进城的结论？下面就从了解数理逻辑的产生过程来诠释这个问题。

（二）数理逻辑（符号逻辑）的产生过程

逻辑是探索、阐述和确立有效推理原则的学科，即事物因果之间所遵循的规律。用数学的方法研究关于推理、证明等问题。早在17世纪，莱布尼茨就曾经设想过能否创造一种“通用的科学语言”，可以把推理过程像数学一样利用公式来进行计算，从而得出正确的结论。莱布尼茨的思想可以说是数理逻辑的先驱。后来英国人乔治・布尔把代数的概念和方法应用于古典逻辑的改造，从而得出一个既是新的逻辑（今天称之为符号逻辑或数理逻辑），也是新的代数，即布尔代数或称逻辑代数。1847年，布尔发表了《逻辑的数学分析》，建立了布尔代数，并创造一套符号系统，把古典逻辑中以自然语言为结构的命题全部符号化，利用符号来表示逻辑中的各种概念。布尔还建立了一系列的运算法则，利用代数的方法研究逻辑问题，初步奠定了数理逻辑的基础。[3]1884年，德国数学家弗雷格出版了《数论的基础》一书，在书中引入量词的符号（比如符号“？埚”与“？坌”，表示“存在”与“所有”等等），使得数理逻辑的符号系统更加完备。还有美国人皮尔斯，他也在著作中引入了逻辑符号。从而使现代数理逻辑最基本的理论基础逐步形成，成为一门独立的学科。[4]

（三）数理逻辑的“命题演算”

命题是指具有具体意义的又能判断它是真还是假的句子（比如1+1=2）。命题演算是研究关于命题如何通过一些逻辑连接词构成更复杂的命题以及逻辑推理的方法。如果把命题看作运算的对象，如同代数中的数字、字母或代数式，而把逻辑连接词看作运算符号，就象代数中的“加、减、乘、除”那样，那么由简单命题组成复和命题的过程，就可以当作逻辑运算的过程，也就是命题的演算。这样的逻辑运算也同代数运算一样具有一定的性质，满足一定的运算规律。例如满换律、结合律、分配律等，利用这些定律，我们可以进行逻辑推理，可以简化复和命题，可以推证两个复合命题是不是等价。[3，4]

可见，1、2引例进城与否也都属于命题。通过命题演算，就可以最后得出该命题是真是假，即进城与否的结论。

（四）逻辑代数、逻辑函数定义及应用

由17世纪的莱布尼茨做先驱，到1847年布尔首先创建逻辑代数、逻辑函数概念，再到1938年香农开始将其用于开关电路的设计，最后到20世纪60年代数字技术的发展才使布尔代数成为逻辑设计的基础，在数字电路的分析和设计中得到广泛的应用。由此看来，“我们要造成这样的一个结果，使所有推理的错误都只成为计算的错误，这样当争论发生的时候，两个哲学家同两个计算家一样，用不着辩论，只要把笔拿在手里，并且在计算器面前坐下，两个人面对面地说：让我们来计算一下吧！”[3]这样的思想，整整经历了三个世纪才逐步走向了完善和应用的阶段。

逻辑代数定义：是研究逻辑函数（因变量）与逻辑变量（自变量）之间规律性的一门应用数学，是分析和设计逻辑电路的数学工具。在逻辑代数中，逻辑变量只有0和1两种取值，其运算只有与、或、非三种基本的逻辑运算。还有与或、与非、与或非、异或等几种导出逻辑运算，也称复合逻辑。[5]

逻辑函数定义：如果对应于输入逻辑变量A、B、C、…的每一组确定值，输出逻辑变量Y就有唯一确定的值，则称Y是A、B、C、…的逻辑函数，记为Y=f（A，B，C…）。[5]

同初等代数，逻辑代数根据逻辑与、或、非三种基本运算，可推导出逻辑运算的13条基本定理（0-1律、交换律、结合律、分配律、求反律等）和3条基本规则（代入规则、反演规则、对偶规则）。利用这些基本定理和基本规则，可以方便高效地解决逻辑电路的分析和设计问题。[5]

有了以上逻辑代数和逻辑函数概念，下面就用逻辑代数的方法来表达1、2引例问题。

引例1中，先将这个用文字描述的命题符号化。即假设，天下雨为R，借到自行车为B，惊人为W，电影为F，赶到城里为A。则该命题的逻辑函数表达式为A=B+WF。

同上引例2中，假设，我有课为C，朋友有课为K，天下雨为R，借到自行车为B，有趣为Q，大片为M，惊人为W，电影为F，赶到城里为A。则该命题的逻辑函数式为，

从引例1、2命题的逻辑函数式可以看出，同一个命题，显然用逻辑函数式的表达比用文字描述简捷清晰。不仅如此，我们再利用逻辑代数的性质、规则等，很快就能客观准确地解决到底要不要进城，即进城命题是“真”还是“假”。

（五）逻辑代数和逻辑电路的关系

现实中的很多逻辑问题，不仅仅只是古典逻辑中的推理和证明，比如在当代的数字电子技术中，很多逻辑问题更多的是要用电路来实现。从上得出，在逻辑代数中，它把矛盾的一方假定为“1”，另一方则假定为“0”，这样就把逻辑问题数学化了。再看数字电路的定义：是用数字信号完成对数字量进行算术运算和逻辑运算的电路或数字系统。由于数字电路具有逻辑运算和逻辑处理功能，所以又称数字逻辑电路。又由于数字逻辑电路中的器件主要工作在开关状态，采用的也是“0”、“1”代码代表开关的“关”和“开”，因此逻辑代数也就成了分析和设计数字逻辑电路的重要数学工具。

下面的引例3就是一个简单的数字逻辑电路。它为一个双联开关电路，如图1所示。设两个单刀双掷开关A和B分别装在宿舍进门处和双架子床的上位，无论在进门处或床上位处都能单独控制灯的开和关。

输入输出能实现异或运算的电路叫做异或门，异或运算符号见右图。

三、结论

当今时代，数字电路已广泛应用于各个领域。数字电路比模拟电路的发展更迅猛，应用更广泛。所以对于当代的工科学生来说学好数字电路势在必行。其中，正确理解数字电路中的“数字”二字以及逻辑电路中的“逻辑”二字的含义是学好数字逻辑电路的基础。本文从初等代数、初等函数的概念出发，旨在梳理出逻辑代数、逻辑函数和它们的共性所在，进而使同学们能更快、更好地掌握、理解数字逻辑电路的分析思路和分析方法，为今后数字逻辑电路的分析和设计打下基础。

参考文献：

[1]周焕山.初等代数研究[M].北京：高等教育出版社，2014.

[4]黄耀枢.布尔与布尔代数[J].中国自然辨证法研究会出版，1985，（4）：36-43.

[5]江晓安.计算机电子电路技―数字电子部分[M].西安：西安电子科技大学出版社，1999.