高考数学选修考点探讨

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本文笔者通过认真研究近7年来的广东高考数学试题，发现对选修版块的考查多集中在复数、导数、简易逻辑用语、圆锥曲线、变量的相关性及统计案例、推理与证明、计数原理排列与组合、二项式定理、离散型变量的分布列、期望与方差等. 2014年高考已过去，2015年高考选修版块怎样考是我们师生都相当关注的问题，本文从广东高考题目中经常考查的选修热点考点的命题形式，分值等入手，结合一些最新的高考模拟题进行剖析， 探讨2015年高考选修版块的命题方向，旨在帮助考生弄清选修考点的本质，熟练掌握问题的解答方法. 供同学们在复习时参考.

一、复数篇

复数是历年高考的必考内容，以选择、填空题为主，分值为5分左右，是送分题，近几年的广东高考重点考查了复数的除法运算，在注重对基础运算考查的同时，有意识地融合复数的基本概念、复数幂的运算的考查.

考点1. 复数的基本概念及基本运算

例1. 已知复数z=（1+i）2 （i为虚数单位），则z= .

分析： 本题考查复数的运算、复数的模. 把复数化成标准的a+bi（a，b∈R）形式，利用z=求得.

解析：z=（1+i）2=1+2i-1=2i，z=2.

点评：对复数有关概念的考查主要是与复数的运算相结合，一般为客观题，难度小，解题关键是准确把握有关概念，根据复数的运算法则准确进行简化运算.

考点2. 复数的运算几何意义

例2. 复数z=在复平面上对应的点位于第 象限

分析：本题考查复数的几何意义，一般来说，处理这类问题时一定要先将复数z化为代数形式，再利用复数的几何意义进行判断.

解析：z====，所以点（，-）位于第四象限.

点评：复数的几何意义是高考命题的一个重点，多结合复数的基本运算与复数对应的点所在象限进行考查，解决这类问题的关键是准确理解复数与复平面内点之间的一一对应关系，通过四则运算法则准确进行化简，确定其实部与虚部.

二、导数篇

通过认真研究这几年广东高考试题，发现以导数知识作为工具，考查函数的单调性、切线问题、最值（极值）、恒成立问题、零点（方程根）问题等是热点考点，常考常新，对这部分的考查，命题形式是一道大题（压轴题）或一道选择、填空题，分值在20分左右.

考点3. 求单调区间（取值范围）

例3. 求函数y=x2-lnx的单调减区间.

分析：这是一个非初等函数，应用定义法或复合函数单调性的方法不容易求出函数的单调减区间，我们不妨利用导数法来求可导函数的单调区间.

解析：由题意得函数的定义域为（0，+∞），y′=x-，令x-=0，解得x=±1，当x∈（-1，1）时，y′0，所以函数y=x2-lnx的单调减区间为（0，1）.

点评：应用导数求函数的单调区间的步骤是先判断函数的定义域，然后求出导函数f′（x），最后分别由f′（x）>0或f′（x）

考点4. 求函数的最值（极值）

例4. 求函数f（x）=x3-x2+1在区间[-2，2]上的最大值与最小值.

分析：解答本题的关键是求出函数f（x）的导函数，及使导函数的值为零的点，即求出可导点，然后判断在可导点两侧的单调性，求出函数的极值，再与两端的函数值比较即可.

解析：f′（x）=3x2-3x=3x（x-1），令f′（x）=0可得x=0或x=1.

列出关于x，f′（x），f（x）表格：

所以当x=0时，f（x）取得极大值1，当x=1时，f（x）取得极小值.

又f（-2）=-13，f（2）=3，故函数的最大值为3，最小值为-13.

点评：一般地，在闭区间[a，b]上的连续函数f（x）必有最大值与最小值，在开区间（a，b）内的连续函数不一定有最大值与最小值，若函数y=f（x）在闭区间[a，b]上单调递增，则f（a）是最小值，f（b）是最大值;若函数y=f（x）在闭区间[a，b]上单调递减，则f（a）是最大值，f（b）是最小值.

考点5. 含参不等式的恒成立问题

例5. 若对x∈[-1，2]，不等式x3-x2-2x+t

分析：构造函数f（x）=x3-x2-2x+t，再求出函数f（x）的最大值即可，即通过解不等式f（x）max≤t2求出t的取值范围.

解析： f′（x）=3x2-x-2=（3x+2）（x-1），令（3x+2）（x-1）=0，得到x1=-，x2=1，当-1

所以函数f（x）在x=-处取得极大值，为极大值为f′（-）=+t.

又f（2）=2+t，f（-1）=+t，比较可知f（2）=2+t为最大值. 要使不等式x3-x2-2x+t

点评：应用导数解答函数的恒成立问题的基本步骤是先求出函数的最值，再转化成解不等式，求出参数即可.

考点6. 导数的几何意义（切线方程）

例6. 已知函数f（x）=ln（x+1）-，求曲线y=f（x）在x=0处的切线方程.

分析：本题考查了导数的几何意义，关键是注意函数定义域及对函数正确求导.

解析：函数f（x）的定义域为（-1，+∞），f′（x）=-=.

由题意，得f′（0）==-1，切点为（0，0），故切线方程为y=-x.

点评：解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法. 解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标为P（x0，y0），然后求其切线斜率k=f（x0）， 写出其切线方程.而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点.

三、圆锥曲线篇

直线与圆锥曲线位置关系问题是每年高考考查的热点.这类问题综合性强，运算量大，代数推理能力要求高.考查的热点问题主要有公共点问题、弦长问题、中点弦问题、最值问题、定点（定值）问题、对称问题.题型是一道解答题和一道填空题或选择题，分值为20分左右.

考点7. 公共点（交点）问题

例7. 若直线y=kx+1（k∈R）与椭圆+=1恒有公共点，求实数t的取值范围.

分析：公共点问题可以通过利用判别式法来求解.判别式法解题的主要步骤是（1）直线方程与方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程;（2）借助？驻来判断.

解析：由y=kx+1代入+=1得（5k2+t）x2+10kx+5-5t=0.

所以？驻=t-5k2-1≥0，得t≥5k2+1≥1，故t≥1且t≠5.

点评：判别式法是解答这类题的通性通法.

考点8. 弦长问题

例8. 已知椭圆+=1的左右焦点分别为F1、F2，若过点P（0，-2）及F1的直线交椭圆于A、B两点，求AB.

分析： 弦长问题一般利用弦长公式AB= x1-x2来定义来解答. 解答基本步骤是联立直线与圆锥曲线方程消去y（或x）得到关于的一元二次方程，再利用韦达定理求解即可.

解析：令A（x1，y1），B（x2，y2），将y=-2x-2代入+y2=1可得9x2+16x+6=0. 所以x1+x2=-，x1x2=. 故AB=x1-x2==.

点评：本题利用了弦长公式来求解，体现了通性通法.

考点9. 最值（范围）问题

例9. 椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为e=，椭圆上各点到直线l∶x-y++=0的最短距离为1，求椭圆的方程.

解析：由e=，得e2=，即=，得a2=4b2.设椭圆的方程为+=1，则其参数方程为x=2bcos？兹，y=bsin？兹. 设椭圆上一点P（2bcos？兹，bsin？兹），则P（2bcos？兹，bsin？兹）到直线x-y++=0的距离为d==

其中tan？渍=2. dmin= =1，解得b=1，故椭圆的方程为+y2=1.

点评：参数法解题的关键是由已知条件，建立目标函数，结合函数的最值方法求最值.

四、常用逻辑用语篇

涉及常用逻辑用语的问题在近几年广东高考中出现的频率还是比较高的，一般以选择题、填空题的形式出现，分值为5分左右.也可能是大题，如2011年高考广东理科的21题.命题热点有三个方面：一是考查充分条件与必要条件的推理判断问题，如2010年高考广东卷第5题; 二是四种命题及其相互关系、含有逻辑联结词的命题的真假判断的考查，如2008年高考广东卷，对于命题的真假判断、给出一个命题写出它的其它三种命题并判断真假仍然是考试的热点;三是全称命题与特称命题的真假判断及其写出其否定形式.

考点10. 充分必要条件

例10. “m

分析：我们把“m0得到m的范围或利用配方法及非负数的意义得到m的范围，再借助充分、必要的含义来判断即可.

解析：设p：“m

点评：充分必要条件的判定方法有定义法、集合法、等价转换法，利用定义法判断命题充要条件的核心就是判断充分性及必要性是否成立.

例11. 已知命题p“？坌x∈R，x2≥0”，命题q：“若x>0，则lgx>0”则下列命题中为真命题的是（ ）

A. （ p） q B. pq C. （ p）（ q） D.（ p）（ q）

分析：先判断命题p、命题q的真假，再结合真值表逐一判断即可.

解析：不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，则 p为假命题， q为真命题，对于A， p与q为假命题，故

（ p） q 为假命题;对于B，因为q为假命题，故pq 为假命题;对于C，因为 p为假命题，故（ p）（ q）为假命题;从而上述叙述中只有（ p）（ q） 为真命题，选D.

点评：本题是含有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的真假性的判断问题，解决这类问题的关键是先判断命题p与q的真假，而pq，pq， p的形式的命题的真假性判断的诀窍分别是一真即真、一假即假、非假即真（非真即假）.

五、计数原理与排列组合篇

计数原理与排列组合知识是历年广东高考的重点内容之一，此类问题与实际联系紧密，常与概率问题结合起来进行考查，以选择、填空题为主，分值为5-10分左右，预测2015年高考对计数原理与排列组合知识的考查是稳中求变，力求创新.

考点11. 计数原理与排列组合

例12. 为了迎接年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同.记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒.如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是 秒.

解析：每次闪烁时间秒，共5×120=600s每两次闪烁之间的间隔为5s，共5×（120-1）=595s.总共就有600+595=1195s. 故需要的时间至少是1195秒.

点评：本题主要考查计数原理的知识在实际问题中的应用，同时考查了考生分析问题、解决问题的能力，读懂题意是解决这类问题的关键，有一定的难度.

例13. 某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）.

解析：6节课共有A66种排法.语文、数学、外语三门文化课中间隔1节艺术课有A33A34种排法，三门文化课中都相邻有A33A34种排法，三门文化课中有两门相邻有C23C22C12C12A33，故所有的排法有2A33A34+C23A22C12C12A33，所以相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为=.

点评：解排列、组合混合题一般是先选元素、后排元素、或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本原理作最后处理.对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏.

六、二项式定理篇

二项式定理是近几年广东高考的命题热点考点，主要有：（1）利用通项公式求展开式的特定项;（2）利用二项式的性质求多项式的二项式系数和、各项系数和.题型为选择题或填空题，分值为5分左右.

考点12. 求展开式中项的系数（二项式系数）

例14. （x2+）6的展开式中x3的系数为 .（用数字作答）

解析：Tr+1=Cr6（x2）6-r（）r=Cr6x12-3r，令12-3r=3得r=3，所以C36=20.即x3的系数为20.

点评：本题主要考查二项式定理，熟练写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规方法，涉及系数问题要注意分清是求二项式系数还是某项的系数，否则易出错.

七、离散型随机变量及其分布列、均值与方差篇

随机变量的均值、方差的计算难度不会很大，对于一般分布可以根据均值、方差的定义直接求解，对于特殊分布（如超几何分布、二项分布等），则可以利用各自的计算公式来简化运算，高考对于这部分的 命题方式可以为选择题、填空题、解答题，分值在5-10分左右，其中考查离散型随机变量的均值与方差计算的 题目多出现在解答题中，属于低档题.

考点13. 离散型随机变量 ？孜的分布列、均值与方差问题

例15. 一盒中有4个正品和2个次品零件，每次取1个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数 ？孜的分布列、均值与方差.

分析：欲求离散型随机变量 ？孜的均值（数学期望）与方差，必须先求出 ？孜的取值，然后利用排列、组合与概率知识求出 ？孜取各个值的概率，再求出 ？孜的概率分布列，然后再根据有关公式求 ？孜的均值（数学期望）与方差.

解析： ？孜=0，1，2，则P（ ？孜=0）=×;P（ ？孜=1）=×=;P（ ？孜=2）=××=; ？孜的分布列为：

E？孜=0×+1×+2×=，

D？孜=（0-）2×+（1-）2×+（2-）2×=.

点评：求随机变量的均值与方差的关键是先求出它的分布列，正确理解离散型随机变量的两个基本特征：pi≥0（i=1，2，3…n）与p=1，它们是确定分布列中参数的依据.注意理解“在取得正品前已取出的次品数”，另外我们还要注意“不再放回”与“有放回”的区别.

考点14. 正态分布问题

例16. 某高三毕业班有60位考生，该班的一次英语听说考试成绩近似服从正态分布，平均分为70分，标准差为10，问从理论上讲该班成绩在80～90分的人数有多少人？

分析：对正态分布问题的关键是抓住两个参数？滋，？滓 ，理解两个参数的实际意义，再用三个基本概率值就能解决问题.

解析：因为？滋=70，？滓=10，P（60

点评：在解决正态分布问题若不能熟悉特殊范围的概率，在求解时容易出错.

八、变量的相关性及统计案例篇

变量的相关性及统计案例在近几年的高考中呈现增多的趋势，对于回归方程，要会根据最小二乘法求其方程，这里的关键是考查同学们的数据处理能力和计算能力;对于独立性检验问题，要理解其基本思想，根据给定的数据能够得到其2×2列联表，然后利用K2进行独立性检验.高考对于这部分的命题方式可以为选择题、填空题、解答题，分值在5-10分左右，其中考查2×2列联表计算的题目多出现在解答题中，属于低档题.

例17. 为考虑广告费用与销售额之间的关系，抽取了5家超市，得到如下数据：

现要使销售额达到6万元，则所需的广告费用为多少元？

解析：x=7，y=41.6，xy=1697，x2i=349. 所以b==48.2，

a=41.6-48.2×7=-295.8. 故回归直线方程为=48.2x-295.8. 当y=6万元=60千元时，60≈48.2x-295.8，解得x≈7.4千元.

九、推理与证明篇

推理与证明贯穿高中数学的每一个章节，是高中数学的主要内容，在高考中，涉及归纳推理和类比推理的题目在仅几年的新课标高考中时常出现，考查的形式以选择、填空题为主，分值为5分，难度中档.

例18. 用黑白两种颜色的正方形地砖按照下图拼成若干图形. 则按此规律第n（n∈N？鄢）个图形中有白色地砖多少块？

分析与解：我们不妨先从探讨n=1，2，3时的图形中有多少块白色地砖入手，从中找出它们满足的具体规律，通过观察所画的图形得到第1，2，3个图形中的白色地砖分别为8、13、18块的时候，我们还不能看出它们之间有什么规律，所以这时候需要我们将这些数据进行处理，因为8=3×3-1，13=3×5-2，18=3×7-3，从上面我们可以看到一定的规律，所以我们归纳推理得到第n（n∈N？鄢）个图形中有白色地砖块3×（2n+1）-n，问题也就得到了解答.

点评：本题要求考生通过阅读题目，认真观察已经给出的图形，得到数列的前几项的特殊值，再将它们进行分解，从中归纳推理数列所满足的规律，从而猜想得到数列的通项公式.

（作者单位：五华县五华中学）

责任编校 徐国坚