埃博拉病毒传播模式的研究

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摘 要 本文针对埃博拉病毒的传播问题分别建立了自由传播状况下的SIR模型和有药物强力控制情况下的微分方程模型，利用MATLAB软件对模型进行求解，对求解结论进行分析，并对模型的优缺点进行评价。

关键词 埃博拉病毒 SIR模型 微分方程模型

中图分类号：R373.9 文献标识码：A

1病毒传播模型的假设

对于一种新型病毒，在没有药物干预和防治的情况下，病情的蔓延是相当迅速的。在应对新型病毒时，医疗卫生部门通常会采取隔离病患，药物治疗等措施。一般情况下，采取药物治疗对控制疫情扩散有显著效果。针对病情扩散情况，政府可以决定适当的隔离时间和药物投放比例。

首先，我们假设所考察人群总数恒定，且无病源的输入和输出；已治愈的患者二度感染的概率为0；所有患者均为“他人输入型”患者；各类人群在人群总体中分布均匀；已被隔离的人群之间不会发生交叉感染。

2问题分析与模型建立

我们把人群分为4类：正常人群、患病人群、治愈人群和死亡人群，分别用H（t）、X（t）、R（t）和D（t）表示。在新病毒爆发初期，由于整个社会对新病毒传播速度和危害程度认识不够，没有采取任何有效的隔离控制措施，疫情会不断蔓延。病毒的传播规律分为“控前”和“控后”两个阶段。控前模型为近乎自然传播的模型，控后模型为介入隔离强度后的微分方程模型。

基于以上分析，我们对控前和控后分别建模。设T为实施强力控制的时间（以d为单位）。当t

2.1控前模型

假设某地区产生第一例病例的时间为T0，在（T0，T）时段，是近乎自由传播的时段，隔离强度为0，每天感染病人人数r为常数。现在考虑在t到t+t这段时间内这4类人群的变化情况，并通过分析各类人群的状态转化关系，来建立微分方程模型。

（1）现有病人数。现有病人数是指在某一时间段内考察人群中所有确诊病人数。现有病人数的变化=新增病人数-（死亡人数+治愈人数）。我们设r为每个未被隔离的病人单位时间的人数，和分别为治愈率和死亡率。

当=t0时，有：=rX（t）-（L1+L2）X（t）

（2）累计死亡人数。累计死亡人数的变化=新增死亡人数，有D（t+t）-D（t）=L1X（t）t

当=t0时，有：=L2X（t）

（3）累计治愈人数。累计治愈人数的变化=新增治愈人数，有

R（t+t）-R（t）=L2X（t）t

当=t0时，有：=L2X（t）

（4）累计病人数。累计病人数=现有病人数+累计死亡人数+累计治愈人数，有Y（t）=X（t）+D（t）+R（t）

综上所述，我们得到埃博拉传播的控前模型：

其中，初始值为：

2.2控后模型

控后隔离强度从控前的0变为p。未被隔离的病人平均每人单位时间感染的人数r随时间逐渐变化，它从初始的最大值a+b逐渐减少至最小值a，a、b的值客观存在。设每个被隔离的病人单位时间感染的人数为r（t）=a+be-%d（t-T）。

其中，用来反映r（t）的变化快慢。类似于控前模型，我们得到埃博拉传播的控后模型：

其中，

3模型的求解

3.1控前模型求解

对于现有病人数X（t），可以根据病毒传播的控前方程式，求得解析解为X（t）=X（0）e（r-L1-L2）t，t≤T

其中，

再将X（t）分别代入病毒传播的控后方程，就可以给出D（t），R（t）以及Y（t）的数值解。

3.2控后模型的求解

同理，我们求得现有病人数的解析解为

X（t）=X（T）e，t≥T

其中

查阅资料，取P=65%，%d=0.02。

4求解结果分析与评价

4.1模型的优点

（1）对新型病毒疫情分别建立了控前、控后模型，并根据以往疫情统计数据估计参数，建立病人数随时间变化的一元函数。（2）微分方程稳定性较好，给出模型收敛性条件，对政府的决策有指导意义。（3）针对不同隔离强度进行分段研究，能够方便有效地预测疫情趋势，欲对某疫区进行预测，只需对参数进行估计，给出初值带入方程即可。

4.2模型的缺点

（1）微分方程中参数估计稍显简单，可对病毒进行分类，针对不同新型病毒，得到更准确的模型。（2）给出的模型忽略性别、年龄及地区差异对隔离措施强度、控制时间等参数的影响。