不等式及不等式组的应用

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2016年的中考将会以填空题和选择题的方式考查不等式的基本性质和解集概念，解答题是解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来，不等式的应用题也是热点考查内容，考查可能与日常生活相联系，也可能与其他章节内容，如方程、函数及几何内容相结合.由于不等式、一元一次不等式（组）及其解集是研究不等式的重要概念，而不等式的基本性质、一元一次不等式（组）的解法以及解集在数轴上的表示又是研究不等式的基础，所以建议同学们在复习这一部分内容时，首先要强化性质的应用训练，注意不等式两边同乘（除）含字母的代数式的正负；其次注意数形结合的方法，即充分利用数轴，关于不等式（组）的应用题，要通过建模训练，明确“已知量”“未知量”之间的关系，学会找出实际问题中的不等关系，并能在不等式的解集中找出符合题意的答案，还要注意与其他类型的应用题结合起来训练.

考点1不等式的基本性质

例1（2015・乐山）下列说法不一定成立的是（）

A.若a>b，则a+c>b+c

B.若a+c>b+c，则a>b

C.若a>b，则ac2>bc2

D.若ac2>bc2，则a>b

分析：根据不等式的性质，逐一验证即可直接得出结果.

解：选项A，在不等式a>b的两边同时加上c，不等式仍成立，即a+c>b+c；选项B，在不等式a+c>b+c的两边同时减去c，不等式仍成立，即a>b；选项C，当c=0时，若a>b，则不等式ac2>bc2不成立；选项D，在不等式ac2>bc2的两边同时除以不为0的c2，该不等式仍成立，即a>b.只有选项C不一定成立.故选C.

点评：注意在运用不等式的基本性质时，要明确不等号的方向是否改变.

练习1（2015・怀化）下列不等式变形正确的是（）

A.由a>b得ac>bc

B.由a>b得-2a>-2b

C.由a>b得-a

D.由a>b得a-2

考点2解一元一次不等式

例2（2015・巴中）解不等式：2x-13≤3x+24-1，并把解集表示在数轴上.

分析：先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1即可.

解：去分母，得4（2x-1）≤3（3x+2）-12.去括号，得8x-4≤9x+6-12.

移项，得8x-9x≤6-12+4.

合并同类项，得-x≤-2.

把x的系数化为1，得x≥2.

这个不等式的解集在数轴上表示如图1所示.

点评：注意每一步的变化，避免一些常见错误的出现.

练习2（2015・大庆）解关于x的不等式：ax-x-2>0.

考点3解一元一次不等式组

例3（2015・黔东南州）解不等式组2（x+2）>3x，①3x-12≥-2.②并在数轴上表示解集.

分析：先确定不等式组中的每一个不等式的解集，进而再确定其公共解集.

解：解不等式①，得x

所以原不等式组的解集为-1≤x

点评：确定不等式组的解集的方法既可以通过“数轴法”来解决，也可以通过“口诀法”来解决.

练习3（2015・铁岭）不等式组x+3≤7+3x，

2x+4>3x的解集在数轴上表示正确的是（）

考点4确定一元一次不等式的整数解

例4（2015・铜仁）不等式5x-3

分析：先依照解一元一次不等式的一般步骤求出不等式的解集，进而利用正整数的意义求解.

解：不等式的解集是x

该不等式的最大正整数解为3.

点评：此题考查一元一次不等式的解法及特殊解的判断.虽说是一道比较简单的基础题，但考查的频率比较高.

练习4不等式4-3x≥2x-6的非负整数解有（）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

考点5确定一元一次不等式组的整数解

例5（2015・潍坊）不等式组2x>-1，-3x+9≥0的所有整数解的和是（）

A.2B.3

C.5D.6

分析：先分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，进而利用整数的意义求解.

解：解2x>-1，得x>-1[]2.解-3x+9≥0，得x≤3.

不等式组的解集为-1[]2

点评：先求出不等式组的解集，然后看解集中有哪些整数，最后将这些整数相加.

练习5（2015・包头）不等式组3（x+2）>2x+5，x-1[]2≤x[]3的最小整数解是（）

A.-1B.0

C.1D.2

考点6确定一元一次不等式中的字母系数的范围

例6（2015・南通）关于x的不等式x-b>0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（）

A.-3

C.-3≤b≤-2D.-3≤b

分析：先求出关于x的不等式的解集，再由“恰有两个负整数解”确定b的取值范围.

先表示出已知不等式的解集，再根据负整数解只有-1，-2，确定出b的取值范围即可.

解：不等式x-b>0，解得x>b.不等式只有两个负整数解，这两个负整数解只能为-1，-2.-3≤b

点评：本题也可以通过数轴，利用数形结合的方法来确定a的取值范围.

练习6关于x的不等式3x-a≤0，只有两个正整数解，则b的取值范围是.

考点7学科内的综合运用

例7（2015・呼和浩特）若关于x，y的二元一次方程组2x+y=-3m+2，x+2y=4的解满足x+y>-32，求出满足条件的m的所有正整数值.

分析：观察两个未知数系的数特点，两个方程相加可得出3（x+y）=-3m+6，则x+y=-m+2，将其代入已知不等式求出m的范围，确定出正整数值即可.

解：2x+y=-3m+2，①x+2y=4.②

①+②，得3（x+y）=-3m+6，即x+y=-m+2.

代入不等式，得-m+2>-32.解得m

点评：此题考查了不等式、二元一次方程组的解，运用了整体代换的思想有很强的综合性.

练习7关于x，y的二元一次方程组5x+3y=23，x+y=p的解是正整数，则整数p的值为.

考点8方案决策问题

例8（2015・黔东南州）今年春天，我市部分地区遭受了罕见的旱灾.某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件.

（1）求饮用水和蔬菜各有多少件？

（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学.已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件，则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来.

（3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元.运输部门选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？

分析：（1）关系式为饮用水件数+蔬菜件数=320.

（2）关系式为40×甲货车辆数+20×乙货车辆数≥200；10×甲货车辆数+20×乙货车辆数≥120.

（3）分别计算出相应方案，比较即可.

解：（1）设饮用水有x件，则蔬菜有（x-80）件.根据题意，列出方程x+（x-80）=320.

解这个方程，得x=200.x-80=120.

答：饮用水和蔬菜分别为200件和120件.

（2）设租用甲种货车m辆，则租用乙种货车（8-m）辆.

由题意，得40m+20（8-m）≥200，10m+20（8-m）≥120.解这个不等式组，得2≤m≤4.

m为正整数，m=2或3或4，安排甲、乙两种货车时有3种方案.

设计方案分别为：

①甲车2辆，乙车6辆；②甲车3辆，乙车5辆；③甲车4辆，乙车4辆.

（3）3种方案的运费分别为：①2×400+6×360=2960（元）；

②3×400+5×360=3000（元）；③4×400+4×360=3040（元）.

方案①运费最少，最少运费是2960元.

答：运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元.

点评：满足一个相等条件可通过列方程解决问题，同时满足两个条件，且出现“不多于”“多于”等不等条件时，可通过列不等式组解决问题.

练习8（2015・凉山州）2015年5月6日，凉山州政府在邛海“空列”项目考察座谈会上与多方达成初步合作意向，决定共同出资60.8亿元，建设40km的环邛海空中列车，这将是国内第一条空中列车.据测算，将有24km的“空列”轨道架设在水上，其余架设在陆地上，并且每千米水上建设费用比陆地建设费用多0.2亿元.

（1）求每千米“空列”轨道的水上建设费用和陆地建设费用各需多少亿元？

（2）预计在某段“空列”轨道的建设中，每天至少需要运送沙石1600m3，施工方准备租用大、小两种运输车共10辆，已知每辆大车每天运送沙石200m3，每辆小车每天运送沙石120m3，大、小车每天每辆租车费用分别为1000元、700元，且要求每天租车的总费用不超过9300元，问施工方有几种租车方案？哪种租车方案费用最低，最低费用是多少？

考点9新定义型问题

例9（2015・达州）对于任意实数m，n，定义一种新运算mn=mn-m-n+3，等式的右边是通常的加减和乘法运算.例如，35=3×5-3-5+3=10.请根据上述定义解决问题：若a

分析：利用题中的新定义化简所求不等式，求出a的取值范围即可.

解：根据题意，得2x=2x-2-x+3=x+1.

a

a的取值范围为4≤a

故答案为4≤a

点评：此题是典型的定义新运算，试题以“新情景”的形式出现，初看，给人一种“雾里看花，水中望月”的感觉，仔细品味又“似曾相识”，要求学生抓住“新运算”的定义，积极推理，模仿演练，可一举成功！

练习9定义新运算：对于任意实数a，b都有ab=a（a-b）+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算.例如，25=2×（2-5）+1=2×（-3）+1=-5，那么不等式3x

考点10阅读理解型

例10（2015・黔西南州）求不等式（2x-1）（x+3）>0的解集.

解：根据“同号两数相乘，积为正”，得①2x-1>0，x+3>0，②2x-1

解①，得x>1[]2.解②，得x0的解集为x>1[]2或x

请你仿照上述方法解决下列问题：

（1）求不等式（2x-3）（x+1）

（2）求不等式13x-1x+2≥0的解集.

分析：（1）根据例题化为两个一元一次不等式组求解即可.（2）根据分式不等式大于零可以得到其分子、分母同号，分式等于零可以得出分子为零，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可.

解：（1）根据“异号两数相乘，积为负”，得①2x-3>0，x+1

解①，得不等式组无解.解②，得-1

（2）根据题意，得①13x-1≥0，x+2>0，②13x-1≤0，x+2

解①，得x≥3.解②，得x

故不等式组的解集为x≥3或x

点评：本题是一道阅读理解题，解题的关键是认真阅读解题方法，解答新的问题.阅读理解题一般是先给出一段文字材料，通过阅读领会其中的知识内容、方法要点，并加以应用，然后解决提出的问题.

练习10（2015・绥化）自学下面材料后，解答问题.

分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.如：x-2x+1>0，2x+3x-1

根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负.其字母表达式为

（1）若a>0，b>0，则ab>0；若a

（2）若a>0，b

反之（1）若ab>0则a>0，b>0或a

（2）若ab

根据上述规律，求不等式x-2x+1>0的解集.

[JZ]参考答案

1.C2.ax-x-2>0.（a-1）x>2.当a-1=0时，ax-x-2>0无解；当a-1>0时，x>2[]a-1；当a-1

7.5和7解关于x，y的方程组，得x=23-3p2，y=5p-232.而方程组的解都是正整数，所以有23-3p2>0，5p-232>0.解得435

8.（1）设每千米“空列”轨道的陆地建设费用为x亿元，那么每千米水上建设费用为（x+0.2）亿元.根据题意，得24（x+0.2）+（40-24）x=60.8.解得x=1.4.1.4+0.2=1.6（亿元）.每千米“空列”轨道的水上和陆地建设费用分别为1.6亿元和1.4亿元.

（2）设施工方准备租用小车a辆.则租用大车（10-a）辆.根据题意，得120a+200（10-a）≥1600，700a+1000（10-a）≤9300.73≤a≤5.a为正数，a=3，4，5.

租车方案如下：

方案一：租3辆小车，7辆大车；方案二：租4辆小车，6辆大车；方案三：租5辆小车，5辆大车.方案一的费用为3×700+7×1000=9100（元）；方案二的费用为4×700+6×1000=8800（元）；方案三的费用为5×700+5×1000=8500（元）.

应选择方案三，即租5辆大车和5辆小车时，租车费用最低，最低费用为8500元.

9.x>-1

10.a>0，b

由上述规律可知，不等式x-2[]x+1>0转化为①x-2>0，x+1>0，

②x-22或x