关于曲率流的一些结论
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【摘要】本文将讨论符合大多数曲率流的一组通式的一些经典结论，从而方便读者在具体研究不同类型的曲率流时，可以直接进行参考，简化运算。
【关键词】曲率流;发展方程。
1 前 言
假设X0：MnRn+1是n维浸入紧致光滑子流形，定义主曲率为(λi)1≤i≤n，法向量为n。设X(?,t)：MnRn+1，t∈［0,+∞)是光滑的,令Mt：=X(Mn,t)。本文讨论一组光滑子流形满足ddtX=UkX,k-Fn,X（?，0）=X0 。其中Uk是一光滑函数，F是关于主曲率对称的函数。
2主要结论和证明
定理2。1 假设gij=＜X,i,X,j＞,则ddtgij=Uk,igkj+UkГmkigmj+Uk,jgik+UkГmkigim-2Fhij。
证明 ddtgij=＜ddtX,i,X,j＞+＜X,i,ddtX,j＞
(根据定义ddtX=UkX,k-Fn)
=＜(UkX,k-Fn),i,X,j＞+＜X,i,(UkX,k-Fn),j＞
=＜(UkX,k),i,X,j＞+＜X,i,(UkX,k),j＞-＜(Fn),i,X,j＞-＜X,i,(Fn),j＞
=＜Uk,iX,k,X,j＞+＜UkX,ki,X,j＞+＜X,i,Uk,jX,k＞+＜X,i,UkX,kj＞-＜Fn,i,X,j＞-＜X,i,Fn,j＞。
由gij的定义和Frener-Serret formua可知：
=Uk,i＜X,k,X,j＞+＜UkГmkiX,m,X,j＞+Uk,j＜X,i,X,k＞+＜X,i,UkГmkjX,m＞-＜FhkiX,k,X,j＞-＜X,i,FhkjX,k＞
=Uk,igkj+UkГmkigmj+Uk,jgik+UkГmkjgim-Fhkigkj-Fhkjgik
=Uk,igkj+UkГmkigmj+Uk,jgik+UkГmkjgim-2Fhij。
定理2。2 面积元素满足ddtg=Uk,kg+UkГikig-gFH。
证明 ddt g=121gddtg。
根据［1,pa 104］ddtg=ggijddtgij,我们有
ddtg=121gggijddtgij=12ggijddtgij。
由定理 2。1可得
=12ggij(Uk,igkj+UkГmkigmj+Uk,jgik+UkГmkjgim-2Fhij)
=12Uk,iggijgkj+12Uk,jggijgik+12UkГmkiggijgmj+12UkГmkjggijgim-gFgijhij
=Uk,kg+UkГikig-gFgijhij
=Uk,kg+UkГikig-gFH。
定理 2。3 法向量n满足ddtn=gij(F,i-Ukhki)X,j。
证明 已知＜X,i,n＞=0是成立的，可得
0=＜ddtX,i,n＞+＜X,i,ddtn＞。
0=＜(UkX,k-Fn),i,n＞+＜X,i,ddtn＞。
0=＜（UkX,k）,i,n＞-＜(Fn),i,n＞+＜X,i,ddtn＞＜X,i,ddtn＞=＜(Fn),i,n＞-＜(UkX,k),i,n＞。
=＜F,in,n＞+＜Fn,i,n＞-＜Uk,iX,k,n＞-＜UkX,ki,n＞。
由于＜X,k,n＞=0和n,i=hkiX,k,可得
F,i-＜UkX,ki,n＞
＜ddtn,n＞=0
=F,i-Uk＜ГmkiX,m+hkin,n＞
=F,i-Ukhki。
已知＜n,n＞=1，则＜ddtn,n＞=0，最终得
ddtn=gij(F,i-Ukhki)X,j。
定理 2。4 第二基本形式hij满足
ddthij=F;ij-Fhkih,kj-(Uk,ih,kj+Uk,jh,ki+Ukhkij+UkГmkih,mj)+ГmijUkhkm。
证明 由于X,ij=ГmijX,m-hijn,我们定义分号X;ij=X,ij-ГmijX,m, 则我们可得hij=-＜X;ij,n＞。
ddthij=-ddt＜X;ij,n＞
=-＜ddtX;ij,n＞-＜X;ij,ddtn＞
=-＜ddtX;ij，n＞-＜-hijn,ddtn＞
(根据定理 2。3)
=-＜ddtX;ij,n＞
(由 X;ij=X,ij-ГmijX,m)
=-＜ddt(X,ij-ГmijX,m),n＞
=-＜ddtX,ij,n＞+＜ГmijddtX,m,n＞
=-＜(ddtX),ij,n＞+＜Гmij(ddtX),m,n＞
=-＜(UkX,k-Fn),ij,n＞+＜Гmij(UkX,k-Fn),m,n＞
=-＜（UkX,k）,ij,n＞+＜(Fn),ij,n＞+＜Гmij(UkX,k,m,n)＞-＜Гmij(Fn),m,n＞。
由于计算量庞大，分开来计算：
＜(Fn),ij,n＞=＜F,ijn,n＞+＜F,in,j,n＞+＜F,jn,i,n＞+＜Fn,n,ij＞
=F,ij+F＜n,n,ij＞
=F,ij+F＜n,(hkiX,k),j＞
=F,ij-Fhkih,kj。
＜Гmij(Fn),m,n＞=Гmij＜(Fn),m,n＞
=Гmij＜(F,mn+Fn,m),n＞
=ГmijF,m。
＜Гmij(UkX,k),m，n＞=Гmij＜(UkX,k),m,n＞
=Гmij＜(Uk,mX,k+UkX,km),n＞
=Гmij＜Uk(ГnkmX,n+hkmn),n＞
=ГmijUkhkm。