浅谈中学数学中最值的求解

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摘要：最值问题贯穿于高中数学的始终，几乎每一个章节都能或多或少的牵扯到最值问题，加之最值问题又与我们的实际生活联系非常密切，正因为此，最值问题历来是高考的热点问题，不仅如此，最值问题就像一条主线，将高中数学知识联系在了一起，研究最值问题能够开发学生的思维，锻炼学生的能力，在函数，解析几何，立体几何，圆锥曲线，向量问题中均离不开最值问题的讨论，可以说最值问题就是数学的生命线，研究最值问题具有很大的实际意义。本文，主要围绕以上几个方面，对出现的最值问题进行初步的探讨，给出常考的题型，以及解题思路和方法，并配以练习与变式以方便初学者更好的掌握。

关键词：最大值;最小值;三角函数;均值定理

1 引言

最值问题历来是高考热点问题之一，不单单是因为他与实际生活的密切相关，更因为求解最值能够开发学生的思维，培养学生的数学素养，对于学生认识事物本质能力的培养有着重大的现实意义。在高中数学中，最值问题涉及面广，像函数（三角函数，二次函数，指对函数，幂函数），不等式，向量，解析几何，立体几何，圆锥曲线中都能找到最值问题，求解最值问题的方法很多，学生必须掌握的方法有以下几种：均值不等式法、单调性法、配方法、换元法、图像法、目标函数法、导数法，问题多，方法也多是求解最值问题的难点，本文主要对最值问题的常用方法和一般技能进行归类整理。

2 方法探讨

2.1 配方法

配方法主要用于解决二次函数，以及可以转化为二次函数的函数的最值问题，是求最值问题中最基本的方法，往往很多求最值问题可以转化成配方法求最值，利用此方法求最值时要注意以下几点：一是要注意函数的定义域，二是注意对称轴与定义域的相对位置关系，三是注意函数是否过某个特殊点，找到之后可以减少讨论，是问题变得简单，下面举几个简单例子来介绍配方法的具体操作过程。

例1：用配方法求下列函数最大值

(1) (2)

解答略.

例2：已知函数 ，求函数 的最小值

分析：联系二次函数的形式，我们可以将函数表达式按 配方，转化为变量 的一个二次函数.

解：

令 ，

， = 的定义域是 ，

抛物线 的对称轴为 ，

当 且 时，

当 时，

例3：求 （且 ）的最小值

分析：利用三角函数公式，将函数化为关于 的二次函数形式，将表达式按 配方，同时需要注意 的取值范围以及对称轴的所在位置.

解：

，则函数对称轴在定义域（ 的取值范围）的右侧，又因为抛物线开口向上，所以

配方法的用途非常广泛，在高中数学中占有相当重要的地位，它的难点是当系数含有参数并且限定定义域时，需要对对称轴与定义域的相对位置进行讨论.

2.2三角函数法

2.2.1三角函数中的正弦型函数 的取值范围是 ,根据这一性质，许多三角函数最值问题可以通过转化正弦型函数求解.

例4 求函数 的最小值

解： =

则可知，此函数的最大值是 ，最小值是

例5求函数 的值域.

解：由 得： (其中 )。

由 得

2.2.2 (或 )型

基本思路：利用 (或 )即可求解，但必须注意字母 的符号对最值的影响。

例6 求函数 的最大值 .

解：由于 ，所以 ，且 ，从而函数 的最大值为 .

2.2.3 (或 )型

基本思路：解出 (或 )，利用 (或 )去解或利用分离常数的方法去求解.

例7 求函数 的值域 .

分析：由 求出 后，运用 求出 的范围.

解：由 可得 ，

即 ，即 或

故函数 的值域为 .

2.2.4 含有 的函数最值问题

基本思路：可令 ，将 转化为 的关系式，从而化归为二次函数的最值问题.

例8 求函数 的值域

分析：由于上式展开后为： 恰好为上述形式的三角函数的最值问题。所以可令 去求解.

解：由 展开得： ，

设 ，则 ，

此时：

2.3 数形结合法

将一些抽象的解析式赋予一定的几何意义，将数量关系用几何图形展现出来，从而实现数与图信息的整合与转化，把代数的问题用几何的方法来解决，使得问题的求解变得简便，在解决最值问题时，这种方法的作用更是巨大.

例9 已知实数 满足 ，当 时，求 的最大值和最小值 .

分析：为了利用斜率，应作恒等变形 ，即过原点的直线OP的斜率 ，其中 为点P的坐标.

解：如图1所示，由于点 满足关系式 ，且 ，可知点P在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A（2,3），B（3,2）

由于 的几何意义是直线OP的斜率，

且 ， ，所以可得 的最

大值是2，最小值是 .

图1

例10 若点P 在直线 上运动，则 的最小值为多少？

解： 点P在直线 上，

上式可以看成是两个距离的和，一个距离可以看作是点

P 与点A 的距离；另一个可以看作是点P

与点B（12,4）的距离，原题即求两个距离和的最小值问题，

而动点P为X轴上的任意一点，如图2，由几何性质可知，当 图2

A，P，B三点共线时， 最小.

此时， = =

例11已知直线 过点 ，且直线 与圆 有交点，则直线 的最大斜率 是多少.

解析：过点 作圆 的两条切线，结合图3，不难算出切线斜率分别为 、 ，所以直线 的最大斜率是 ．

例12 已知向量 ， ，则 的最大值是_ ____．

解析：如图3，设 ， ，由向量

减法及模的几何意义可知，点 在以 为圆心，1为半径

的圆上．由图可知，当点 在 位置时取得最大值，

此时 ．

2.4 均值不等式法

利用均值（基本）不等式求最值是历年高考的热点内容之一，利用均值不等式所需的条件可概括为“一正、二定、三相等”.当这些条件不完全具备时，就需要一定的技巧，特别是凑“定和”或“定积”的技巧，使其具备，下面谈谈常见的凑”定和”或“定积”的技巧.

2.4.1 凑数法

例13 当 时，求 的最大值

解析：由 知， ,利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值.注意到 为定值，故只需将 凑上一个系数即可.

当且仅当 ，即 时取等号，所以当 时， 的最大值是8.

2.4.2 凑项法

例14 已知 ，求函数 的最大值 .

解析：由题意知 ，首先要调整符号，又 不是定值，故需对 进行凑项才能得到定值.

,

当且仅当 ，即当 时等号成立.

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数使其积为定值.

2.4.3 分离法

例3 求 的值域

解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出有 的项，再将其分离

当 ，即 时

（当且仅当 时取等号）

当 ，即 时，

（当且仅当 时取等号）

3. 总结

本文主要从常用的配方法，三角函数法，数形结合法以及均值不等式法对最值问题的解法进行了探讨，每种方法不是万能的也不是绝对的，有些问题较复杂时，几种方法要结合起来用，对于本文中提到的单调性法，导数法，目标函数法在此不作详细的讨论，总之，无论哪种方法都有自己的妙处，要善于灵活掌握，就需要把握住题目的特点与每一种方法的特点。遇到题目，要学会分析题目，从而抓准解决问题的关键。

参考文献：

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[6] 刘文治.教材解析[M].中国少年儿童出版社，2008:89-93.

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我故意问：“你们还有什么问题要问吗？”在我的提醒下，就有一个学生提出：“如果这个数是45是估成40呢？还是50？”我大声说：“这个问题问得好啊！怎么老师没想到呀！”同学们开始有点困惑了。但看得出，个个都在动脑筋。在我的点拨下，学生们自己提出问题，互相启发与争辩，最后成功释疑，又一次印证了西方的一句谚语――一个绝妙的问题胜过一打精彩的答案。老师的示范引导就像一缕明媚的阳光，让学生问题意识的种子从发芽到长大，变得更加茁壮。

总之，学生探求知识的思维活动，总是由问题开始，又在解决问题的过程中得到发展的。我们教师在教学中需要切实重视培养学生的问题意识，在适宜的土壤中运用适当的方法去培养小学生的数学问题意识，有一定价值的问题便会“不尽长江滚滚来”，它将促使学生主动地、创造性地学习，从而发展学生思维，增强学生能力，提高学生的学习效果。

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游戏是幼儿园的基本活动，这意味着游戏在幼儿园的活动中扮演着极其重要的角色。游戏的种类多种多样，在幼儿英语教学中常用的有益智游戏、表演游戏、体育游戏、音乐游戏几种。这些游戏既可单独运用于教学中，也可相互包容。游戏的难易程度要符合幼儿的能力水平，幼儿才能对游戏产生兴趣，积极主动地参与游戏。并不是每一种游戏都是适用于教学内容，如“拼图游戏”就只适合用于学习一些物体名词，而不适合于儿歌、歌曲、动词的学习。若游戏选取不恰当，则可能事倍功半，虽然游戏过程表面上热热闹闹，实际上并未达到教学目标。只有游戏适宜运用于该教学内容，突出教学目的，才能有目的地高效地完成教学任务。

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只有运用适合幼儿的方法进行教学，增加趣味性，才能调动他们的学习热情，充分发挥学生主动参与的意识，这样他们就在体验中得到了英语学习的乐趣，看到了自己的长处、挖掘了自己的潜能、培养了自己的信心，达到事半功倍的效果。