线性不确定系统混合故障的可靠圆盘极点配置

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇线性不确定系统混合故障的可靠圆盘极点配置范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

摘 要：针对一类不确定线性系统,利用更一般、更实际的执行器出现混合故障的模型，设计可靠控制器的同时将系统的极点配置到指定圆盘内问题,混合故障模型是指在一个系统中同时包含离散故障模型和连续故障模型,并给出系统将极点配置到指定圆盘上可靠控制的充分条件.通过求解LMI(线性矩阵不等式)完成状态反馈可靠控制器的设计。仿真验证本文提出的设计控制器方法的可行性。

关键词：不确定系统;混合故障模型;圆盘极点配置;执行器故障;可靠控制

中图分类号：TP13 文献标识码：A

Reliable Circular Disk Pole Placement for Uncertain Linear Systems with Mixed Fault

WANG Jianhua ,YAO Bo,HUANG Shan

（College of Mathematics and Systems Science Shenyang Normal University ,Shengyang110034 ,China）

Abstract:The reliable circular disk pole placement design problem of mixed fault model with actuator faiure for a class of uncertain linear systems is discussed.A more practical and general model of actuator failure is presented. Mixed fault model is discrete fault model and continuous fault model coexist in a system, This controller designed to make the system less conservative, A sufficient condition of circular disk pole placement with mixed fault model reliable controller is given. State feedback controller is designed by solving LMI (linear matrix inequality). A simulation example shows the efficiency in a system.

Key words:uncertain linear systems ;mixed fault model;placement of disk pole;actuator failure;reliable control

1 前 言

可靠控制的目的是设计控制器使闭环系统无论控制部件是否出现故障都能保持稳定且满足一定的性能指标. Veillette［1］在利用代数Riccati方程设计可靠控制器时首次提出一种离散的故障模型,杨光红［2］将离散故障模型进行了创新,引入了连续故障模型，即提出了控制器准失效的故障模型,我们称之为连续的故障模型.

对于线性系统,如果所有的极点均在复平面的适当圆盘内,那么系统将具有期望的稳态和动态特性,极点配置就是设计控制器使闭环系统极点分布在左半平面的适当区域内.近年来,人们提出了一些将系统的极点配置到一个指定的区域的方法［3-16］, 并且在配置极点的时候考虑了系统的可靠性,如,文献［8］给出传感器出现故障的圆盘极点配置的可靠控制器设计方法,文献［9］考虑的是执行器故障圆盘极点的可靠配置.

文献［8］［9］在设计可靠控制器时考虑的是连续的故障模型,而本文是针对混合故障模型的线性系统,提出的是闭环极点配置到指定圆形区域的可靠控制问题，这种混合故障模型正是在Veillette所提出的离散故障模型和杨光红所提出的连续故障模型的基础上考虑到了把两种模型有效的结合到一起,使得在设计圆盘极点配置可靠控制器的时候保守性更小一些.通过求解线性矩阵不等式（LMIs）完成系统可靠控制器的设计,仿真实例可以看出,不仅在无故障的情况下将系统极点配置到指定圆盘上,而且当系统发生故障时仍然将系统极点配置到指定圆盘上,还具有良好的动态稳定性.设计实例验证了文中所给出的可靠控制器的设计方法是可行的.

2 问题描述

考虑如下线性不确定系统：

(t)=(A+ΔA)x(t)+Buf(t) （1）

其中不确定项ΔA=ED,T＜I,x(t)∈Rn为系统的状态变量;A∈Rn×n,B∈Rn×m为常值矩阵;E,D为适维常值矩阵,为时变矩阵;反馈控制律为:u(t)=Kx(t),其中u(t)∈Rm为执行器的正常信号向量,uf(t)∈Rm为考虑执行器故障的信号向量.

执行器混合故障模型描述如下

uf(t)=Fu(t)， （2）

其中,F为执行器故障矩阵.

所以闭环系统为:

(t)=(A+ΔA+BKF)x(t)（3）

3 主要结果

引进如下记号:

M0=diag(m01,m02,…,m0n),J=diag(j1,j2,…,jn),Φ=diag(φ1,φ2,…,φn),m0i=12(mui+m│i),ji=mui－m│imui+m│i，φi=mi－m0im0i,(i=1,2,…,n),可以得到M=M0(I+Φ) ,|Φ|≤J≤I(4)其中|Φ|=diag(|φ1|,|φ2|,…,|φn|).

定义1 故障矩阵的形式为

F=diag(l1,…,lp,mp+1,…,mn)=diag(l1,…,

lp,0,…,0)+diag(0,…,0,mp+1,…,mn) （5）

计算技术与自动化2011年3月

第30卷第1期王建华等：线性不确定系统混合故障的可靠圆盘极点配置

即F=Li+M （6）

其中:Li=diag(l1,…,lp,0,…,0), M=diag(0,…,0,mp+1,…,mn)

也就是说执行器故障矩阵F的组成部分是由离散的故障故障矩阵Li和连续型故障矩阵M两部分组成的,其中离散故障矩阵模型Li=diag(l1,…,lp,lp+1,…,ln)其中lp+1=…,=ln=0

离散故障矩阵Li定义如下:

Li=diag(l1,…,lp,0,…,0)

其中,lj=1表示第j个执行器正常运行;lj=0表示第j个执行器失效,j=1,2,…,p,执行器故障共有N(≤2p)种组合模式,记为Li=L1,L2,…,LN.

连续的故障矩阵定义如下:

M=diag(m1,…,mp,mp+1,…,mn)

其中m1=…=mp=0,0≤m│i≤mi≤mui,mui≥1,为执行器故障矩阵,这里mi=0时,表示执行器第i条通道完全失效;当mi=1时,表示执行器第i条通道正常工作;0≤m│i≤mi≤mui,mui≥1,且mi≠1,当表示执行器第i条通道部分失效;

引理1 设R1,R2为适维常值矩阵,Σ为时变适维矩阵,|Σ|≤U,U为正定对角矩阵,有

R1ΣR2+RT2ΣTRT1≤βR1URT1+1βRT2UTR2

成立，其中β＞0为任意正标量.

引理2 对于闭环系统(2),存在圆盘极点配置的控制K的充分必要条件是:

(A+ΔA+BKF－aI)P(A+ΔA+

BKF－aI)T－r2P＜0 （7）

有解P＞0,式中a+0j为极点所在的圆域D的圆心,r＞0为圆域D半径.

引理3 设B,K为适维矩阵, P＞0，存在任意正标量ε＞0使得下不等式成立，

0BM0ΦKP(BM0ΦKP)T0≤

εBM0J(BM0)T00ε－1(KP)TJKP

其中M0=diag(m01,m02,…,m0n),J=diag(j1,j2,…,jn),Φ=diag(φ1,φ2,…,φn).

定理1 设Π=(A+ΔA+BKF－aI)P(A+ΔA+BKF－aI)T－r2P

Ψ=－r2PZZT－P,若Ψ＜0则Π＜0.其中, Z=(A+ΔA－aI)P+BFKP

定理2 若存在正定P＞0,ε1＞0以及

Γ=-r2P+ε1BM0JMT0BT (A+ΔA-aI)P+B(M0+Li)Y0

P(A+ΔA-aI)T+［B(M0+Li)Y］T-PYTJ12

0J12Y-ε1I＜0（8）

则Ψ＜0.

证明 因为

Ψ=－r2PZZT－P=－r2PZ0ZT0－P+

0BM0ΦKP(BM0ΦKP)T0

其中Z0=(A+ΔA－aI)P+B(M0+Li)Y,KP=Y.

由定理1得

Ψ=－r2PZZT－P+ε1BM0J(BM0)T0

0ε-11YTJY=

-r2P+ε1BM0J(BM0)TZ0

ZT0-P+

YTJ12ε-110 J12Y

由Γ＜0及schur补引理得到

-r2P+ε1BM0J(BM0)TZ0

ZT0-P+

YTJ12ε-110 J12Y＜0.

定理3 若存在正定P＞0 , ε2＞0以及

∑=-r2P+εBM0JMT0BT+ε2EET(A-aI)P+B(M0+Li)Y00

PAT-aP+［B(M0+Li)Y］T-PYTJ12 PDT

0 J12 Y-ε1I0

0DP0-ε2I＜0（9）

则Γ＜0.

证明 由Σ＜0,引理1及Schur补引理得到

Γ=-r2P+εBM0JMT0BT(A+ΔA-aI)P+B(M0+Li)Y0

P(A+ΔA-aI)T+［B(M0+Li)Y］T-PYTJ12

0J12 Y-ε1I

=

-r2P+εBM0JMT0BT(A-aI)P+B(M0+Li)Y0

P(A-aI)T+［B(M0+Li)Y］T-PYTJ12

0J12 Y-ε1I+0ΔAP0ΔAP00000

=-r2P+εBM0JMT0BT(A-aI)P+B(M0+Li)Y0

P(A-aI)T+［B(M0+Li)Y］T-PYTJ12

0J12 Y-ε1I+0EDP0PDTTET00000

≤-r2P+εBM0JMT0BT+ε2ETE(A-aI)P+B(M0+Li)Y0

P(A-aI)T+［B(M0+Li)Y］T-PYTJ12

0J12 Y-ε1I+00001ε2PDTDP0000

≤-r2P+εBM0JMT0BT+ε2ETE(A-aI)P+B(M0+Li)Y0

P(A-aI)T+［B(M0+Li)Y］T-PYTJ12

0J12 Y-ε1I+0PDT01ε20DP0＜0

定理4 对于系统(1),如果存在正定矩阵P＞0并且满足Σ＜0则存在反馈增益矩阵K=YP－1,使得闭环系统(4)的极点均在圆域D内,其中D为以a+0j(a＜0)为圆心、r＞0为圆域D的半径.

证明由P＞0和Γ＜0满足定理3得Ψ＜0,则由定理2可得Π＜0,那么由引理2可得定理4闪.

4 数值仿真例子

设系统（1）的系数矩阵为

A=－0.91.72.30.5－3.6－1.82.8－2.6－4.3,

B=－3.70.40.3－3.50－0.2－4.9－0.80,E=0.50000.50000.5,

D=0.50000.50000.5（10）

由式（10）确定的系统的极点集合为{-7.2231,0.3912 ,-1.9681},可以看出标称系统是不稳定的.

若故障矩阵如下:

F=diag(li,m1)=diag(li,0)+diag(0,0,m1)

l1=diag(1,0),l2=diag(0,1),l3=diag(1,1),l4=diag(0,0) .

所以离散的故障矩阵

L1=diag(1,0,0),L2=diag(0,1,0),

L3=diag(1,1,0),L4=diag(0,0,0)(11)

连续的故障变化范围为: 0.6918≤m1≤1.6745.在此范围内取特定的连续故障矩阵

取M1=diag(0,0,0.8) ,M2=diag(0,0,1.2)

配置极点所在的圆形区域D的圆心为－6+0j,半径为r=4.

根据定理4所设计的可靠控制增益矩阵为

K=0.01390.0126－0.0003－0.2781－0.33150.0395－28.5614－16.1296－6.0420(12)

当系统不发生故障时候其极点为:λ(A+BK)={－6.3658,－5.5390,－3.3681}

当系统发生故障的时候其极点分布如图1┧示:

图1 执行器故障的极点分布

仿真结果表明,由本文方法设计的容错控制器,对故障矩阵F具有良好的性能,不仅保证了系统在无故障和发生执行器故障时的渐近稳定性,而且把系统的极点都能够配置到指定的圆盘里面。

5 结 论

本文针对实际系统中执行器失效问题,建立了混合故障模型,给出了将系统极点配置到指定圆盘上的充分条件,通过求解LMI提出一种可靠控制器的设计方法,通过仿真实例可以看出,不仅在无故障的情况下将系统极点配置到指定圆盘上,而且当系统发生故障时仍然将系统极点配置到指定圆盘上,还具有良好的动态稳定性。设计实例验证了文中所给出的极点配置可靠控制器的设计方法是可行的。

参考文献

［1］ VEILLETTE R J, MEDANIC J V,Perkins W R.Design of Reliable control system［J］.IEEE Transactions on Automatic Control, 1992,37(3):770-784.

［2］ YANG G H,WANG J L , Soh Y C. Reliable H∞ design for linear system ［J ］.Automatica,2001,37(3):717-725.

［3］ FURUTA K,KIMS B.Pole assignment in a specified disk ［J］. IEEE Trans. Automat. Contr.,1987,32(5):423-427.

［4］ GARCIA G, BENUSSOU J. Pole assignment for uncertain systems in a specified disk by state feedback ［J］.IEEE Trans. On Automatic Control,1995, 40 (1):184-190.

［5］ HADDAD W M,BERNSTEIN D S. Controller design with regional pole constraints ［J］.IEEE Trans. on Automatic Control, 1992, 37 (1): 54-69.

［6］ SAEKIM.On the pole location of a system designed by robust stabilitydegree assignment,Syst［J］.Control Lett,2001, 42, (2),pp. 353-361.

［7］ GARCIAG,BERNUSSOU J ,Camozzi P.Disk pole location for uncertain systems through convex optimization. Int［J］. Robust and Nonlinear Control,1996,6(1):189-199.

［8］ 姚波,张庆灵,王福忠,等.具有传感器故障的可靠圆盘极点配置［J］.控制与决策,2004,19(3):346-348.

［9］ 孙欣,徐兆棣,姚波,考虑执行器故障圆盘极点可靠配置［J］.计算机技术与自动化, 2005,24(4)35-37.

［10］A王福忠,姚波,张嗣瀛. 线性系统区域稳定的可靠控制［J］.控制理论与应用,2004,21(5):835-839.

［11］A张华春,谭民.状态反馈控制系统的容错控制器设计［J］.控制与决策, 2000, 15 (6):724-726.

［12］A俞立,陈国定,杨马英.不确定系统的鲁棒输出反馈区域极点配置［J］.控制理论与应用,2002,19（2）：244-247.

［13］A刘满,井元伟,张嗣瀛.区域极点配置问题的研究方法［J］.控制与决策,2005,20(3):241-245.

［14］A张华春,谭民.状态反馈控制系统的容错控制器设计［J］.控制与决策, 2000, 15 (6) :724-726.

［15］A王子栋,孙翔,郭治.区域极点约束下线性离散系统的Riccati鲁棒控制［J］.自动化学报,1996,22(4): 468-471.

［16］A蒋培刚,苏宏业,褚健,等.线性不确定离散系统区域极点配置的状态反馈实现方法［J］.控制与决策, 1999,14(1):81-84.

［17］AJianhua Wang, Bo Yao. Design of reliable Controller with Mixed Fault Model in linear Systems［J］. IEEE. Proc. of CCDC2010. 2010: 1709-1712.

［18］A俞立.鲁棒控制―线性矩阵不等式的处理方法［M］.北京：清华大学出版社,2002.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文