基于APOS理论的离散数学概念教学

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摘要:离散数学概念繁多而抽象,严重阻碍命题学习、逻辑思维能力培养以及整个理论体系的形成,从而影响该门课程教学质量的提高。本文基于著名数学教育家杜宾斯基的apos理论,提出相应的离散数学概念学习策略。教学实践表明,提出的概念教学策略对提高学生学习兴趣,培养学生思维能力,提高离散数学教学质量有明显的效果。

关键词:离散数学;概念教学;APOS理论

离散数学是计算机科学与技术专业的重要专业基础课程。它不仅是许多专业课程如数字逻辑、数据结构、数据库原理、操作系统、编译原理和人工智能等的必备基础,而且对培养学生抽象思维和逻辑推理能力起着重要作用。

离散数学有众多抽象的概念,在离散数学的教学中,几乎每一次课都有新概念的引进。除了直接反映客观事物的空间形式或数量关系外,许多都是在已有的数学概念的基础上,经过多层次的抽象概括而形成的。概念是思维的单位,是整个数学知识结构的基础,是判断p选择p推理的重要依据,直接影响到离散数学教学的成败。从多年的教学实际来看,学生往往出现两种倾向,其一是有的学生认为基本概念单调乏味,不重视它,不求甚解,导致概念认识和理解模糊;其二是有的学生对基本概念只是死记硬背,而不去弄清楚它们的来龙去脉,将繁多的概念形成一个知识体系。这样久而久之,严重影响对数学基础知识和基本技能的掌握和运用。从一定意义上说,数学水平的高低,取决于对数学概念掌握的程度。

基于杜宾斯基的APOS理论,我们提出离散数学概念教学应该采取的策略,并使用大量的实例进行说明。

1APOS学习理论

美国的杜宾斯基等人在数学教育研究实践中,提出了一种APOS理论,即学生学习数学概念,一般要经过四个阶段:操作(Action)阶段、过程(Process)阶段、对象(Object)阶段、模型(Scheme)阶段[1]。

操作活动阶段,是学生理解概念的一个必要条件,通过操作、活动,让学生亲身体验、感知问题的直观背景以及与生活现实之间的联系。

过程阶段,是学生对操作、活动进行思考,经历思维的内化、整合过程,学生在头脑中,对活动进行描述和反思,抽象出概念所特有的性质。

对象阶段,是通过前面的抽象,认识概念的本质,对其赋予形式化的符号定义及符号,使其达到精致化,成为一个具体的对象,在以后的学习中,以此为对象去进行新的活动。

模型阶段,需要经过长期的学习活动来逐步完善,起初建立的概念模型包含反映概念的特例、抽象过程、定义以及符号,经过学习建立起与其他概念、规则、图形等的联系,在头脑中形成综合的心理图式。

APOS理论揭示了数学概念学习的本质,是具有学科特色的学习理论。

基金项目:湖南农业大学东方科技学院教改课题“离散数学概念教学研究”(52030780)。

作者简介:陈义明(1969-),男,副教授,硕士,研究方向为机器学习;李舟军(1963-),男,教授,博士,研究方向为计算机科学理论。

2概念教学策略

对应于APOS理论的四个阶段,我们提出了离散数学概念教学应该采取的策略。

2.1通过直观教学和情景引入,揭示数学概念的来源与背景

由于数学概念本身具有严谨性、抽象性和符号化等特征,我们在教学中往往比较重视培养思维的逻辑性和精确性。如果只注意数学概念的传授,置学生于被动地位,则不利于其创新能力的发展,这也是很多学生觉得离散数学难学的一个重要原因。如果能在教师创设的情景中让学生亲身体验一遍概念的产生过程,即从需要出发,让学生大胆地猜想,体验到数学概念产生是自然的、合理的,而不是人为强加的,有利于学生形成数学直觉,发展数学思维,获得数学发现的基本素质。

新的数学概念的形成,有的来源于现实世界或解决实际问题的需要,有的是对已有数学概念的进一步抽象概括,有的产生于理论发展的需要。无论是何种情形都有鲜活的背景材料为例证。因此,我们必须通过直观事例,把握数学概念的本质特征。如在讲述欧拉路、欧拉回路和欧拉图的概念时[2],笔者先介绍了著名的哥尼斯堡七桥问题,学生很感兴趣,很想给当时人们提出的问题一个解答。接下来介绍数学家欧拉如何将这样一个实际问题抽象为一个图论问题,然后给出那样的回路不存在的结论。从而非常自然地给出上述的三个概念,当时人们要找的路径叫做欧拉回路,如果不要求回到出发点,则那样的路径叫欧拉路,具有欧拉回路的图叫做欧拉图。等价关系、等价类和商集是三个比较难的概念,笔者首先给学生一个等价关系,让学生画出它的关系图,观察这个关系图的特点(集合的所有元素被划分为一些“团”,来自不同团的两个元素不满足关系),从而定义这种特殊的关系叫等价关系。接下来引导学生描述每一个“团”,引出等价类的概念。最后让学生思考如何用等价类描述整个集合,给出商集的概念。整个过程让学生深深的体会到每一个概念都是在解决问题的过程中提出的,是为解决问题服务的。

教师在教学中还应该运用现代教育技术,去体现数学概念在形成过程中的运动性、变化性、过程性,让学生通过活动与操作,获得对数学概念更深入的认识。如我们可以通过动态显示删除图的顶点及关联的边的方式,给出点割集的概念。

2.2准确掌握数学概念的内涵和外延

数学概念的内涵就是被概念揭示的对象的本质属性,而外延则是概念所反映事物的范围(或集合)[3-4]。

在实际教学中,由于对内涵认识不清,学生往往区分不出概念的本质属性,把非本质属性当作内涵。为使学生掌握数学概念的内涵,我们除了从概念外延中挑选正例来说明概念外,还应该选取一些反例来进行对比。反例可以排除与概念无关特征的干扰,作为揭穿错误、伪证的强有力的数学方法,反例传递了最有利于辨别的信息,对概念认识的深化具有非常重要的作用,这是正面例子做不到的。如在学习关系闭包的概念时,我们除了按照自反闭包、对称闭包和传递闭包的概念给出三种闭包的求解方法以及关系图和关系矩阵的特征外,还有意删除闭包中的有序对或者添加不必要的有序对使之成为一个反例,突出闭包概念的本质属性。

外延与内涵是紧密相连的,外延是随着数学活动经验的不断丰富而逐步深入的,因此,学生理解概念的外延往往比内涵更为困难。在后续内容的教学中,要不失时机的提及一些重要概念的外延,如讲图的连通性的时候,我们分析得到图顶点集合上的连通关系是一个等价关系,加深对等价关系的理解。

2.3准确掌握数学概念的定义、名称、符号及正确表述

数学概念的名称、符号、文字和口头表述在学习与运用数学概念中的作用,主要体现在两个方面:第一,数学名称、符号、文字表述和口头表述是交流与传播数学思想的媒介物。第二,数学名称、符号的简明性、直观性等特点有助于启发学生思维[3]。概念定义是从具体―抽象的升华,是概念学习的高级阶段。同时也是通过已有概念与关系建立新概念,揭示事物本质属性的过程。教学中除了原始概念以直观描述的方式引进外,其他数学概念均须在不失严谨性的前提下,要求学生掌握数学概念的本质属性和这些属性结合的规则,以及该概念的名称、符号及正确表述,对该数学概念形成言语的、符号的、图形的不同形式的准确表述,并做到它们之间的互释互译。这是我们进行严密的逻辑推理,构筑离散数学理论体系的必备基础。

2.4注重数学概念间的联系与应用,准确掌握数学概念体系

在数学教学中既要注意概念的形成过程,也要注意概念的应用。心理学认为:运用概念的能力是掌握概念的标志。学习理论也揭示:知识只有在运用中才能得到真正的理解。概念运用的过程是抽象――具体的过程,这个过程实质上比具体――抽象更难。