股票价格具有时滞的双币种期权定价研究

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摘要：本文借鉴Arriojas、Hu和Mohammed等提出的股票价格满足的随机时滞微分模型， 假设汇率过程和股票价格过程的漂移项和扩散项均具有时滞， 并得到了在风险中性概率测度下他们满足的随机泛函微分方程。利用Girsanov定理、鞅表示定理等随机分析理论和无套利原理、风险中性定价原理等期权定价理论对国外证券国外支付价格的双币种期权进行了定价研究。

关键词：风险中性概率测度；双币种期权；时滞响应；汇率；股票

传统的双币种期权定价研究通常在Black-Scholes框架下进行的， 它蕴含了常数波动率的假设。然而一些实证研究表明， 股票价格的波动率以一种不确定的方式依赖于时间变量而非常数。所以我们假设国外股票价格和汇率过程均存在时滞响应， 利用计价单位变换、鞅的性质和引理推导出它们在风险中性概率测度下满足的随机过程。

一、汇率过程F（t）满足的随机时滞微分方程

浮动汇率制度下汇率过程同股票价格一样满足几何维纳过程。

借鉴Arriojas、Hu和Mohammed提出的股票价格扩散项和漂移项均具有时滞的随机泛函微分方程， 假设汇率在t时刻满足如下过程：

dF（t）=

μF（

t-a）F（t）

dt+g（F（

t-b））F（t）

dW（t）

F（t）=

φ（t），t∈

[-L，0]（1）

令Md、Mf分别表示在国内市场和国外市场上银行账户价格过程。 假设在实际概率测度下Md（t）、Mf（t）的价格过程满足：

dMd（t）=rMd（t）dt（2）

dMf（t）=rfMf（t）dt（3）

其中r和rf分别表示国内和外国无风险利率常数。

考虑国外银行账户在国内市场上的价格即F（t）Mf（t）， 此时它是国内市场上可交易的标的物。 给出国外银行账户在国内市场上的价格折现过程X（t）=F（t）Mf（t）/Md（t）在国内风险中性概率测度下满足的微分方程，从而间接求出汇率F（t）满足的随机微分过程。

由It公式，有

dX（t）=X（t）[μfF（t-af）dt-rdt+rfdt+gf（F （t-bf））dWf].

假设1 对?v≠0， 有gf（v）≠0。

定理1 假设Md、Mf和F（t）分别表示在国内市场和外国市场上银行账户价格过程及汇率过程， 它们的价格满足方程（1）、（2）和（3）， 且φf（0）>0，gf（F（t-bf）） 满足假设1。令X（t）=F（t）Mf（t）/Md（t）表示国外银行账户在国内市场上的价格折现过程， 则在国内风险中性概率测度Q下， 存在维纳过程， 使得

=gf（F（t-bf））d宰赞f（t），

即X（t）是一个鞅。 进一步地， 浮动汇率F（t）满足的微分方程为

=（r-rf）dt+gf（F（t-bf））d宰赞f（t）。

证明 应用Girsanov定理， 选取过程

Σ（u）=，u∈[0，T]。

显然Σ（t），t∈[0，T]是可测的过程。

由假设条件1，可知1/gf（v），v∈（0，∞）是有界函数， 此外， 由F（t）的定义， 有：

Σ（u）2du

令l′=min（af，bf），Ft=F0，t≤0， 那么当时u∈[0，T]， 在σ-代数FT-l′上Σ（u）是可测的。 因此， 在FT-l′上， 积分Σ（u）dWf（u）服从均值为0方差为Σ（u）2du的正态分布。 由鞅的定义可得

Ep（exp{Σ（u）dWf（u）}|FT-l′）=exp{|Σ（u）|2du}

所以Ep（exp{Σ（u）dWf（u）-|Σ（u）|2du}|FT-l′）=1

由上式可推出：

Ep（exp{Σ（u）dWf（u）-|Σ（u）|2du}|FT-l′）=exp{Σ（u）dWf（u）-|Σ（u）|2du}

令k为正常数， 使得0≤T-kl′≤l′。那么有

Ep（exp{Σ（u）dWf（u）-|Σ（u）|2du}|FT- kl′）=exp{Σ（u）dWf（u）-|Σ（u）|2du}

对上式两边在B0取条件期望， 可得

Ep（exp{Σ（u）dWf（u）-|Σ（u）|2du}|F0）=1

由ρt的定义， 有

ρT=exp{Σ（u）dWf（u）-|Σ（u）|2du}

从而可推出：

Ep（ρT）=Ep（exp{Σ（u）dWf（u）-|Σ（u）|2du}）=1

运用Girsanov 定理， 可知

宰赞f（t）=Wf（t）+du，t∈[0，T]

是定义在国内风险中性概率测度Q上的标准维纳过程， 其中dQ=ρTdP的定义为

ρT=exp{-dWf（u）-||2du}

将宰赞f（t）代入dX（t）中， 有

=gf（F（t-bf））d宰赞f（t）

即X（t）是一个鞅。

因为浮动汇率F（t）满足的微分方程

=μfF（t-af）dt+gf（F（t-bf））dWf（t）

将宰赞f（t）代入上式， 可以得出在国内风险中性概率测度下， 汇率F（t）满足如下微分方程：

=（r-rf）dt+gf（F（t-bf））d宰赞f（t）（4）

二、国外股票价格过程满足的随机时滞微分方程

令S（t）表示国外证券市场上股票的价格过程。 在实际概率测度下， 假设它满足如下随机时滞微分方程：

dS（t）=μS（t-a）S（t）dt+g（S（t-b））S（t）dW（t），t∈[0，T]

S（t）=φ（t），t∈[-L，0]（5）

在概率空间（Ω，F，P）中相应的滤波满足通常的条件， 在上面的时滞随机微分方程中，μ，a，b为正的常数，L=max（a，b），g：RR的连续函数。W（t）是维纳过程。 假设股票S（t）与汇率F（t）随机项之间的相关系数为ρ， 即dWf（t）dW（t）=ρ。

定理2 假设若v≠0， 则g（v）≠0。令

Σ（t）=

ρt=exp{Σ（u）dW（u）-|Σ（u）|2du}，t∈[0，T]

在空间（Ω，F）上定义新的概率测度Q， 且dQ=ρTdP， 则宰赞（t）=W（t）-Σ（u）du，t∈[0，T]，是概率测度下Q的标准维纳过程。

证明 应用Girsanov定理， 令

Σ（t）=

显然Σ（t），t∈[0，T]是可测的过程。

由假设条件可知1/g（v），v∈（0，∞）是有界函数， 此外， 由S（t）的定义， 有

|Σ（u）|2du

令l=min（a，b，af，bf），Ft=F0，t≤0，那么当u∈[0，T]时， 在σ-代数FT-l上Σ（u）是可测的。 因此， 在FT-l上， 积分Σ（u）dW（u）服从均值为0方差为Σ（u）2du的正态分布。 由鞅的定义可得

Ep（exp{Σ（u）dW（u）}FT-l）=exp{|Σ（u）|2du}）

所以Ep（exp{Σ（u）dW（u）-|Σ（u）|2du}|FT-l）=1

由上式可推出：

Ep（exp{Σ（u）dW（u）-|Σ（u）|2du}|FT-l）=exp{Σ（u）dW（u）-|Σ（u）|2du}

令k为正常数， 使得0≤T-kl≤l。那么有

Ep（exp{Σ（u）dW（u）-|Σ（u）|2du}|FT-kl）=exp{Σ（u）dW（u）-|Σ（u）|2du}

对上式两边在F0上取条件期望， 可得

Ep（exp{Σ（u）dW（u）-|Σ（u）|2du}|F0）=1

由ρt的定义， 有

ρT=（exp{Σ（u）dW（u）-|Σ（u）|2du}

从而可推出：Ep（ρT）=1。

运用Girsanov 定理， 可知

宰赞（t）=W（t）-dW（u），t∈[0，T]

是定义在等价鞅概率测度Q上的标准维纳过程， 其中dQ=ρTdP的定义为

ρt=exp{dW（u）-||2du}

将上式代入国外股票S（t）满足的价格过程（5）中， 可得

dS（t）=[rf-ρg（S（u-b））gf（F（u-bf））]S（t）dt+g（S（u-b））S（t）d宰赞（t） （6）

这就是国外股票在等价鞅概率测度Q下满足的随机时滞微分方程。

我们考虑国外股票S（t）在国内市场上的价格（即S*（t）=S（t）F（t））所满足的随机过程， 利用It燥赞引理， 有

dS*（t）=S*（t）[rdt+gf（F（t-bf））d宰赞f（t）+g（S（t-b））d宰赞（t）]

令g*dW*（t）=gf（F（t-bf））d宰赞f（t）+g（S（t-b））d宰赞（t）， 其中W*（t）是等价鞅测度Q下的维纳过程。 将上式两边平方， 可得

g*（S（t-b），F（t-bf））2=g2f（F（t-bf））+g2（S（t-b））+ρgf（F（t-bf））g（S（t-b）），从而=rdt+g*（S（t-b），F（t-bf））dW*（t）

更进一步地，利用It引理可以得出S*（t）经国内银行账户折现后的随机过程满足：

d=g*dW*（t）

即在等价鞅概率测度Q下是一个鞅， 该结果表明测度Q就是风险中性概率测度。

三、市场的完备性

以下将证明在该测度下市场是完备的， 且对于任意的未定权益， 给出了其定价公式和相应的对冲策略。

定理3 假设国外证券市场上的股票价格S（t）由（3。2。1）式给出， 汇率F（t）满足（3。1。4）式， 其中φ（0）>0，φf（0）

V（t）=e-rtEQ（|Fst），t∈[0，T]

并且存在一个可适且平方可积的过程h0（u），u∈[0，T]使得

EQ（e-rtX|FTS*）=EQ（e-rtX）+h0（u）dW*（u），t∈[0，T]

其中W*（t）是一个标准的Q-维纳过程， 及

g*（S（t-b），F（t-bf））dW*（t）=gf（F（t-bf））d宰赞f（t）+g（S（t-b））d宰赞（t），t∈[0，T]

对冲策略为

πs（t）=

πB（t）=M（t）-

证明 由S*（t），W*（t）的定义， 不难看出， 当t>0时， 有FtS（t）=FtS*（t）=FtW*（t）， 它们分别表示由{S（u），u≤t}，{S*（u），u≤t}，{W*（u），W*（u）}生成的σ-代数。

考虑一个对未定权益X进行复制的自融资组合V（t）， 包括πB（t）份零息债券ert和πs（t）份用国内货币表示的国外股票S*（t）=S（t）F（t）， 这个套利组合t∈[0，T]均成立， 设V（t）为投资组合的价值， 有

V（t）=πB（t）ert+πs（t）S*（t）

首先证明在等价鞅测度Q下，V（t）/ert是一个鞅， 即证明自融资组合在等价鞅测度下仍然是一个鞅。

dV（t）=πB（t）ertrdt+πs（t）S*（t）[rdt+g（S（t-b））dW*（t）]

利用It燥赞引理， 有

d=dV（t）e-rt=πs（t）S*（t）e-rtg*dW*（t）

可见V（t）/ert是风险中性概率测度Q下的鞅。

构造等价鞅测度Q下的鞅

M（t）=EQ（|FtW*），t∈[0，T]

由鞅表示定理，存在一个FtW*可料过程h0（t），t∈[0，T]，使得h0（u）du

M（t）=EQ（）+h0（u）dW*（u），t∈[0，T]。

即dM（t）=h0（t）dW*（t），t∈[0，T]。

下面求解动态投资组合{（πB（t），πS（t））：t∈[0，T]}， 使得最终价值V（T）=X， 由无套利原理有

V（t）=πBert+πSS*（t）=ertM（t），

其中S*（t）=S（t）F（t）， 若投资组合{（πB（t），πS（t））：t∈[0，T]}是自融资投资策略，则有

dV（t）=πBdert+πSdS*（t）=dertM（t）

左边有：

dV（t）=πBdert+πSdS*（t）

=πBertrdt+πSS*（t）[rdt+g*（S（t-b），F（t-bf））dW*（t）]

右边有：

dV（t）=dertM（t）=erth0（t）dW*（t）+M（t）ertrdt

令左右两边dW*（t）和dt项前面系数相同， 得到

πs（t）=

πB（t）=M（t）-

即{（πB（t），πs（t））：t∈[0，T]}为所求的自融资投资组合， 且V（T）=erTM（T）=X， a.s.， 即未定权益X是可获得的， 则市场是完备的。 利用无套利原理， 由一价定理可得未定权益X的价格为

V（t）=ertEQ（|FtW*）=e-r（T-t）EQ（X|FtW*）

四、国外股票国外支付价格的双币种期权定价

现在， 我们重点给出国外股票国外支付价格的看涨期权的定价公式。首先考虑

（t）=S（t）e

由于dS（t）=S（t）[（r-rf+ρggf）dt+g（S-（t-b））d宰赞（t）]， 所以

d（t）=（t）rdt+g（S（t-b））（t）d宰赞（t），令（t）==e-rt（t），t∈[0，T]， 由It燥赞引理有

d（t）=（t）g（S（t-b））d宰赞（t）

上式表明经过变换后，（t）在风险中性概率测度下是一个鞅。结合定理3的结论给出具有时滞的国外股票国外支付价格的看涨期权的定价公式。

定理4 假设股票价格过程S（t）由（5）式给出， 其中φ（0）>0，φf（0）>0且g（V）≠0（V≠0），gf（V）≠0（V≠0）， 令V（t）表示标的资产为国外股票的固定汇率下看涨期权的价值， 执行价格为Xf， 到期日为T，令N（t）表示标准正态分布的分布函数，那么当t∈[T-l，T]， 其中l=min{a，b，af，bf}，V（t）的价值为

V（t）=S（t）eN（d1）-Xfe-r（T-t）N（d2（t））

其中

d1=

d2=

对冲策略为

πs（t）=eN（d1（t））

πB（t）=Xfe-rTN（d2（t）），t∈[T-l，T]

当T>l且t

V（t）=ertEQ（H（（T-l），g（S（u-b））2）du，g（S（u-b））2du）|Ft）

其中H为H（x，m，σ2）=xeΦ（α1（x，m，σ））-Xfe-rtΦ（α2（x，m，σ））

α1（x，m，σ）=[ln（）+rT+m+σ2]α2（x，m，σ）=[ln（）+rT+m]

证明 我们在风险中性概率测度下讨论双币种期权的价值。在定理3中， 令未定权益X=F0max（S（T）-Xf，0）=F0max（（T）erT-Xf，0）。则期权的价值为

V（t）=F0ertEQ[（（T）-Xfe-rT）+|Ft]

其中（t）=S（t）ee-rt

且d（t）=（t）g（S（t-b））d（t）

由引理， 有

（T）=（t）exp{g（S（t-b））d宰赞（u）-g2（S（t-b））du}，t∈[0，T]

显然（t）是Ft可测的。如果t∈[0，T-l]， 则g（S（t-b））也是Ft可测的， 在风险中性概率测度Q下， g（S（t-b））d宰赞（u）在Ft上的条件分布与σξ相同， ξ符合N（0，1）标准正态分布，σ2=g2（S（t-b））du， 因此， 在时刻t的期权价格为

V（t）=ertF0H（（t），g2（S（t-b））du，g（S（t-b））du）

其中H（x，m，σ2）=EQ（xem+σξ-）+，σ，x∈R+，m∈R

现在我们来计算H（x，m，σ2）的表达式

首先，xem+σξ>Xfe-rt，?ξ>从而， 有

H（x，m，σ2）=EQ（xem+σξ-）+

=EQ[（xem+σξ）I]-EQ[（）I].

先计算前一部分， 有

EQ[（xem+σξ）I]=xeΦ（α1（x，m，σ））

其中，α1（x，m，σ）=[ln（）+m+σ2]

计算后一部分， 可得

EQ[（）I]=Φ（α2（x，m，σ））

其中，α2（x，m，σ）=[ln（）+m]

σ，x∈R+。m∈R。因此， 当t∈[T-l，T]， 其中l=min{a，b，af，bf}，V（t）的价值为

V（t）=S（t）eN（d1）-Xfe-r（T-t）N（d2（t））

其中

d1=

d2=

对冲策略为

πs（t）=eN（d1（t））

πB（t）=-Xfe-rTN（d2（t）），t∈[T-l，T]

当T>l且t

V（t）=ertEQ（H（（T-l），g（S（u-b））2）du，g（S（u-b））2du）|Ft）

同理，有相应的双币种看跌期权的结论：

定理5 假设股票价格过程S（t）由（5）式给出， 其中φ（0）>0，φf（0）>0且g（V）≠0（V≠0），gf（V）≠0（V≠0）， 令P（t）表示国外股票国外支付价格的看跌期权的价值， 执行价格为Xf， 到期日为T， 最终支付为X2=F0max（Xf-S（T），0），令N（t）表示标准正态分布的分布函数， 那么当t∈[T-l，T]， 其中l=min{a，b，af，bf}，P（t）的价值为

P（t）=Xfe-r（T-t）N（-d2（t））-S（t）eN（-d1），

其中

d1=

d2=

对冲策略为

πs（t）=eN（d1（t））

πB（t）=Xfe-rTN（d2（t）），t∈[T-l，T]

当T>l且lMT-l时， 有

V（t）=ertEQ（H′（（T-l），g（S（u-b））2）du，g（S（u-b））2du）|Ft）

其中H为H（x，m，σ2）=xeΦ（-α1（x，m，σ）+Xfe-rtΦ（-α2（x，m，σ））

α1（x，m，σ）=[ln（）+rT+m+σ2]α2（x，m，σ）=[ln（）+rT+m]

定理4、5给出了当国外股票S（t）及汇率过程均具有时滞时， 固定汇率国外资产国外敲定价格的双币种看涨看跌期权的定价公式， 可以看出此时折现后的资产过程的可测范围既与股票的滞后区间有关， 同时也决定于汇率过程的滞后区间。 而从未定权益的表达式X1=F0max（S（t）-Xf，0）、X2=F0max（Xf-S（t），0）中似乎期权的价格与即时汇率F（t）无关， 然而公式中的rf，ρg（S（t-b））gf （F（t-bf））均与F（t）有关， 即使在固定汇率时， 期权价格仍然与汇率过程F（t）息息相关。且当a=b=af=bf=0（不具有时滞）时， 定理中的期权定价公式就简化为了普通B-S公式。

参考文献：

[1]Black F，Scholes M.The pricing of options and corporate liabilities[J].Journal of Political Economy，1973（81）.

[2]李亚琼，黄立宏.红利支付下的具有时滞的股票期权定价[J].湖南大学学报， 2009（36）.

[3]李亚琼，黄立宏.漂移项和扩散项具有时滞的股票期权定价[J].湖南大学学报（自然科学版），2009 （12）.

（作者单位：新余学院）