关于“最小的一位数是几”的争议

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作者简介：罗奎（1983-）男，贵州大方人，大方县马场镇衙院小学一级教师，主要从事小学数学教育教学与研究。

摘 要：“最小的一位数是几”的争议是数学中的一个模糊命题。解决争议的的关键就是明确界定相关概念，从认知常识和认知规律方面着手解决。

关键词：最小；一位数；争议

今年期终全乡统考评卷时，全乡参与评卷的所有教师（包括语文和数学教师）对一个一年级的数学填空题的答案展开了激烈的争论。这个数学题目是：“最小的一位数是（ ）”。一部分教师认为答案应该是“1”，另一部分教师认为答案应该是“0”。两方各持己见，谁也没能说服对方，最后认为答案为“0”的一方作出妥协，不承认问题的答案为“1”，但是同意在此次评卷中以1作为评卷参考答案进行评卷。本次争议的问题是：“最小的一位数是那个数？是1还是0？”这个看似简单而不简单的问题困扰着很多教师和学生，在没有一个具体的解释以前大家纠结也是很正常的。

关于该争议，主要有以下两种观点：

一种观点认为“最小的一位数是1”。持该数字来表示的数就叫做两位数……”，假设 0 也算作一位数的话，那么最小的两位数是就是 “00”了，以此类推，最小的三位数、四位数就是“000”和“0000”了。《九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书》第98 页“关于几位数”是这样叙述的：“通常在自然数里，含有几个数位的数，就叫做几位数。例如，2是含有一个数位的数，叫做一位数；30是含有两个数位的数，叫做两位数；405是含有三个数位的数，叫做三位数……但是要注意：一般不说 0 是几位数。”持该观点的人，还以“通常谈论几位数的时候，最高位不能是0”作为支撑理由。

另一种观点认为“最小的一位数是0”。持该论者的理由如下：0 表示没有，在记数法中是表示该数位上存在“0”个该数量单位，如 5001 里的“0”就分别表示这个数的十位、百位上存在“0”个该数量单位。关于“几位数”是这样定义的：“只用一个有效数字表示的数，叫做一位数，只用两个有效数字，其中左边第一个数字是有效数字来表示的数就叫做两位数……”，0 也是一位数，也是有效的一个数字，如果“0”是无效的数字，那么为什么还要用“0”来表示一个数？所以“0”是一位数。如果说 “00”是两位数，这与认知常识是不相符的。因为经常谈到两位数的时候，潜意识里的两位数就是10到99。当然最高位上不是“0”。如果十位上是“0”，那么这个数就不是我们所说的两位数，例如我们不会把01说成是两位数，而常说01是一个编号。关于《九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书》第98 页“关于几位数”的叙述：“通常在自然数里，含有几个数位的数， 叫做几位数。例如，2是含有一个数位的数，叫做一位数；30是含有两个数位的数，叫做两位数；405是含有三个数位的数，叫做三位 数……但是要注意：一般不说 0 是几位数。”该阐述只说明了这是该学者的个人观点，并不能够说明“0”是不是最小的一位数。因为他在实质上回避了一个问题：一般不说 0 是几位数，那么，什么情况我们说0是一位数呢？“0”究竟是不是一位数呢？数字是用来表示特定数量的特定符号。在形式上，“0”只有一位数字，符合一位数的特征，并且0是有效的数字。在一位数当中，0是最小的，符合最小的特征。所以，“0”是最小的一位数。

对于观点一的评析：观点一从 “几位数” 的定义即：“只用一个有效数字表示的数，叫做一位数；只用两个有效数字表示的数，且其中左边第一个数字是有效数字来表示的数就叫做两位数……”，外加一个“假如”的类推以及教参书上的“一般不说 0 是几位数”就得出0不是一位数的结论在逻辑推理上不是必然推理，不能保证结论的正确性。另外，以“通常谈论几位数的时候，最高位不能是0”作为支撑理由也是不充分的。通常谈到两位以上（含两位）的几位数时，确实最高位上不是0，但这只是作为两位以上（含两位）数的的特征，不能由此得出0是不能为两位以上（含两位）数的最高位的原因，而恰恰是两位以上（含两位）数的结果特征，这一说法把逻辑上的结果变成了原因，是错误的。同时该观点也没有考虑到“通常谈到一位数时究竟0是不是一位数的问题”，这点在逻辑上也是不严谨的。

对于观点二的评析：观点二从“几位数”的定义着手，论证了0也是一位数，这符合思维常识和认知常识，似乎给人一种无懈可击的感觉。但是，这一论证只是解决了0是不是一位数的问题，并没有论证“最小”这一范围。因此，不能必然推出“最小的一位数是0”的结论。因为“一位数”的涵义是不明确的，“最小”的比较的范围没有确定，比较就没有意义和结果。

从争议双方来看，观点一试图证明0不是一位数，没有达到目的。因为无论如何，都要和思维常识和认知常识不相背才更容易让人接受；观点二证明了0是一位数，但没能证明“最小的范围”，最终也不可能得出“最小的一位数是0”的结论。

关于 “最小的一位数是0还是1”的争议的焦点有两个：一是0是不是一位数。需要特别注意的是：0是一个特殊的数。因为特殊，就要区别对待，不能和其他数一并而论。例如：0既不是正数也不是负数；0既不是质数也不是合数；0是偶数；007不是传统意义上的三位数，而是代表一个编号，但700却是三位数；当0作为一个单独的数来讨论的时候，0应该是一位数。承认0是一位数符合逻辑和认知常识，观点二基本说清楚了。二是“最小”肯定存在比较，那么比较的范围是什么？即“一位数”的外延是什么。要确定比较的范围，必须确定“一位数”的具体外延才能够确定。具体到教学中，从集合理论着手，能轻松解决这个问题。广义上的“一位数”的外延组成了一个大集合，在这个大集合里有若干个子集合，这些子集合的关系的复杂性是产生争议的根源。因为在寻找最小的“一位数”时，个体思维中所预想的子集不同答案就会不同。广义上的“一位数”这个大集合里，有如下几个子集合：第一，一位自然数集（非负整数集），其元素有：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，最小的一位数是0；第二，一位正整数集，其元素有：1、2、3、4、5、6、7、8、9，最小的一位数是1；第三，一位负整数集，其元素有：-9、-8、-7、-6、-5、-4、-3、-2、-1。最小的一位数是-9；第四，一位整数集，其元素有：-9、-8、-7、-6、-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，最小的一位数是 -9。从教学实际来看，广义上的“一位数”的概念意义不大，因为“一位数”的内涵和范围会随着学生对数的认识而不断丰富和扩大。所以在教学中，我们所谈论的“一位数”应该不是广义上的，而是有具体限定范围的。

总之，在不同的范围内，“最小的一位数”是不同的。解决该争议的关键就是要在具体的教学中具体化“最小的一位数”之“一位数”的概念和外延，在讨论“最小的一位数”时，预先具体化比较的范围，用具体的概念表达代替“一位数”这个界限范围不确定的表达。如，在小学阶段，学生所接触到的一位数实际上是自然数（非负整数），用“最小的自然数”代替“最小的一位数”这个含糊不清的概念，比较的结果当然是唯一确定的。在中学，可以具体到其他的子集合概念即：自然数集（非负整数集）、正整数集、负整数集、整数集等。具体到这些子集合概念，范围也就确定了，无谓的争议也就不会产生了。（作者单位：贵州省大方县马场镇衙院小学）