以数学实验为平台 以探究教学为推手

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摘要：随着现代教育技术及软件的普及，数学实验也逐步成为课堂数学探究的重要方式。本文将介绍基于TI图形计算器（简称TI）的数学实验为平台开展的教学活动。将TI作为一种技术手段运用于课堂教学，结合典型案例，探究函数的性质问题，让学生感受数学实验在教学过程中所起到的作用，有助于打破学生在“听中学”的传统，使之转化为使学生在“做中学”的学习模式.运用数学实验开展探究教学的模式致力于影响学生数学认知结构，帮助学生更深入地理解数学的本质。

关键词：TI图形计算器；探究教学；数学实验；图形直观

随着现代教育技术和软件的普及，数学实验也正逐步成为课堂数学探究的重要工具。数学实验的目的是提高学生学习数学的积极性和对数学的应用意识，同时培养学生用所学的数学知识和计算机技术去认识问题和解决实际问题的能力。不同于传统的数学学习方式，它强调的是以学生动手为主的数学学习方式。TI图形计算器（本文以下简称TI）支持下的数学实验，即把TI作为一种技术手段运用于学生开展研究性学习和校本学习中，通过选择适当的教学内容和典型案例，有助于打破学生在“听中学”的旧传统，转化为学生在“做中学”的新模式。

中学数学知识范围内有许多数学案例可供研究。下面通过教例介绍如何以TI作为数学实验工具，探究函数的性质问题，让学生了解数学实验在教学过程中所起到的作用。

一、创设知识发生的情境

知识发生的教学常常会设计各种需要解决的问题或实际背景，从中产生解决问题的需求.知识的发生处可以是一段系统知识的开始之处，也可以是教学中某项知识的引入。它有利于学生从课堂开始就对整块知识获得整体性的认识，对建立良好的认知结构产生积极的影响.

例1.请观察比较两个函数f（x）=2x+和g（x）=2x-的图像特征。

分析：引导学生分别从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面思考其图像特征，再鼓励学生们画出f（x）与g（x）的草图，最后请同学们利用TI图形计算器绘出图形，验证之前的所思所想。（2个图形如下）

并得出结论：f（x）在 和（，+∞）区间上单调递增，在（-，0）和（0，）区间上单调递减。而 g（x）在（0，+∞）和（-∞，0）区间上均为增函数。

以上的结论来自图形直观，那么图形直观是否可靠？继续引导学生从数的角度给予严谨的逻辑证明，同时让他们感受数的严谨和形的直观。

数学实验让抽象的数学变得直观、形象、生动，让同学们更加明确数的探究方向，从而使数学显得“平易近人”。当代著名数学家M.Atiyah指出：“本世纪的数学在很大程度上是在与实质上具有的几何困难作斗争。几何直观仍然是领悟数学的最有效地渠道，应当在各级学校尽可能广泛地利用几何思想。”

本节的设计要不断创设情境，让学生在轻松的氛围中领悟其中的数学思想。讲完案例1后，将同学们分为2组，请第一组同学随意写出不含参数的函数表达式，并从数的角度思考该函数的图形特征。第二组同学则利用TI帮忙绘出对应函数的图形。之后，让两组同学交流成果，也借此调动学生学习数学的热情。第一组同学应借助第二组同学的图形直观来阐明数各种特征间的关系；第二组同学应借助第一组同学中数的严谨性来阐明形的某些属性。

二、着眼知识内涵的探究

教师在数学课上传授的通常是信息而不是知识，有经验的教师会将信息按其内在的关系组织成便于学生活动的教学情境，即“将教材的学术形态转化为教育形态”。探究式的教学更注重于学生的思维能力的培养，知识的难易性并不是决定的因素。其实探究性问题与常规的课本习题不存在本质的区别，有经验的教师会适时将某些练习性的问题引导到更深入的探究层次。

例2.探究函f（x）=x3-ax2+3x+1 a∈[-10 ，10]的单调区间。

分析：让学生使用“以形助数”的方法。先利用TI画出f（x）的图形，去感受图像如何随着参数a的变化而变化，而后请同学们从数的角度思考为什么图像会随着参数变化。通过该习题引导学生进行更深入地知识探究，即“导函数与图像增减性的关系”，从而让学生自然地进行模块知识间的整合。由于f'（x）>0时f（x）单调递增，而 f'（x）

三、立足数学能力的提升

建构主义教学观下教师的任务是“围绕主题，精心设计”。这个主题即指知识、技能和能力目标。在教学中，教师不能让学生支离破碎地、一个个片段地听懂，而无法从本质和整体上去把握知识。因此，教师在教学中要对问题的设计和分析给予足够的注意，让学生更好地抓住数学本质，提升数学的学习能力。例2中图形直观帮助同学们明确数的探究方向。反之：数的探究结果是否正确，继续用形来验证，借此让学生巩固数形结合的数学能力。

上一案例探究结论为：当-3≤a≤3时，f（x）在定义域上单调递增；当-10≤a≤-3或3≤a≤10时，f（x）在 （-∞，） 和（，+∞）上单调递增，在（，）上单调递减.

接着，教师让学生利用TI绘出图形，验证该结论.借此培养数学的严谨逻辑思维，同时可以让学生感悟数学家华罗庚说的“数形结合百般好，隔裂分家万事非”. （3个图形如下）

四、促进应用能力的拓展

教学实践是检验数学活动的有效途径.即通过教学实践检验学习兴趣和积极性是否被调动了，数学意识是否增强了，数学知识是否主动掌握并能迁移拓广应用.知识迁移是学习及问题解决的一个关键主题，它指的是以新的方式或新的情境中应用知识，它关注先前的学习如何影响之后的学习.数学教学常常由具体的实际问题出发概括出抽象的概念并得到抽象化的知识后，再把它们运用到新的实际情境中，从而拓广学生的知识应用和解决问题的能力.

例3.探究函数f（x）=x2-1+ax-1在区间[-2，2]上的最大值.

分析：本题若用传统代数的方法解决，那么解法如下：

（1）首先应围绕如何脱去绝对值展开讨论，即

（2）其次再围绕如何求各分段函数的最值展开讨论，

①当-2≤x≤-1时

②当-1

③当1≤x≤2时

（3）再其次对a分为a≤-3，-32这4种情况继续讨论，比较三组f（x）max的数值大小，最大的 f（x）max将成为f（x）在区间[-2，2]上的最大值.

（4）最后得出结论：当a

以上解法确实麻烦，需要涉及到多方面讨论.然而本题如果运用数学实验 “以形助数”即通过抽象思维与形象思维的结合，那么复杂问题便可简单化，解题途径也得以优化.操作如下：

运用TI先设置参数 ，绘 f（x）=x2-1+ax-1（-2≤a≤2）的图像，设置动画，观察图像随着a的变化过程.得出结论：不管a如何变化，最大值只在三个地方取得，即 x=1，x=-2和x=2处.所以最大值要么为f（-2）=3+3a，要么为f（1）=0，要么为f（2）=3+a.接下来只要对这三个代数式比大小，选出最大者即可.同样得出以上结论：当a0时f（x）的最大值为3+3a.（TI绘出3个图形如下）

五、注重数学思维的培养

建构主义数学观和教学观把培养学生数学思维作为数学教育的主要目标，认为“数学教育应当有过程和结果并重的观念”.现在，人们不仅把“数学教育”看作思维训练的手段，而且也把它看作培养现代人基本素质的必修课程.所以，教师要在一切数学学习活动中贯穿、渗透数学的精神、思想和方法，要以数学思维分析带动、促进学习活动的进行，并培养他们对知识和思想进行迁移的能力，从而提高学生的数学修养.

例4.已知函数f（x）=x|x-2a|，a∈R，探究是否在R上存在区间（m，n），使函数y=f（x）在该区间上既有最大值又有最小值.若不存在请说明理由，若存在请分别求出m，n 的取值范围.

分析：本题解题关键在于（m，n）为开区间.若改为[m，n]，因为f（x）在R上是连续函数，所以这样的m，n就一定存在.

若用传统代数方法解决较抽象，入手难，而且涉及到多方面讨论.然而，本题若采用“数形结合”，那么思路将变得顺畅.利用TI绘出f（x）的图形.观察图形如何随着参数a的变化而变化.发现不管a如何变化，其图像大致形状分为三种，即a=0，a>0，a

（1）当a=0时，由右边图像可知f（x）在R上单调递增，因此不存在开区间（m，n），使函数y=f（x）在该区间上既有最大值又有最小值.

（2）当a>0时，由图像可知：f（x）有两个零点0和2a； f（x）在（-∞，a）和（2a，+∞）上单调递增，在（a，2a）上单调递减.

由图知：要想在某一个开区间上既有最大值又有最小值，那么图像必须包括左下图线段部分，即要包含区间[a，2a]，即最大值是f（a），最小值是f（2a）.而（m，n）图像左端只能在右上图左边线段部分即（0，a）间摆动，右端只能在右上图右边线段部分之间摆动.所以存在m∈（0，a），n∈（2a，a+a）.

（3）当a

分析可知：存在m∈（a+a，2a），n∈（a，0）.

总之，运用数学实验助推数学探究性学习，有助于改善和优化学生的数学认知结构，帮助学生理解数学的本质，提升学生数学能力，让数学实验的思想方法与知识的建构同步推进，让学习任务与探究体验和谐发展.