关于哈尔滨市中考数学压轴题创编设计的思考

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2007年是哈尔滨市新课程改革以来的首次中考.在命题过程中，亲耳聆听了各位专家的教诲，与同伴共同学习、共同研究、交流思想，使我们对新课程的认识获得了新的提升.下面结合几道中考题的命制，谈谈感想.

一、中考数学第20题是一道区分度较高的创编题.此题以“能力为立意”,考查了学生分类讨论的思想及综合运用几何知识解决数学问题的能力.试题创编过程如下：

（2）点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动.同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点C1与点A1的运动速度相同，（如图6）A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1 E1A1C1，垂足为E1，请猜想E1F1、A1C1与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想.

（3）在（2）的条件下，当AB=4，A1E1=3, C1E1=2时，求BG的长.

【反思】

1.关于双点运动的问题，要特别注意同时、等速及运动停止时的清晰表述.

2.要特别注意此题存在性的论证.

命题人员经过研讨发现，第2问中关于速度的表述确实不够严谨，并进行了如下修改：

修改一：点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点C1与点A1的运动速度相同，当动点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动.如图6，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E1A1C1，垂足为E1，请猜想E1F1、A1C1与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想.

【研究】

在研讨第（3）问的过程中，发现了两个问题：

①当给出A1 E1=3, C1 E1=2的条件时，边长AB已经可求了，无需再给出AB=4的条件.

②求BG时需用到三角形相似的有关知识，而28题第3问也用到了三角形相似的有关知识，这样知识点出现了重复，为了解决这一问题，经进一步研究发现，在点A1与点C1的运动过程中，DF1的长始终等于A1D的长，这样，可运用勾股定理及等腰三角形有关知识可求出DF1的长，为此，对第3问进行了如下修改：

修改二：在（2）的条件下，当A1E1=3, C1E1=2时，求DF1的长.

【启发】 通过对题目的反复研究,可以使我们逐步发现数学中最本性的问题,而这恰恰是提高解题能力的关键.

【反思】命题人员运用平面解析几何的知识，对第3问从新的角度给予了解答，并从中发现在求DF1时，只需给出条件A1C1 =5即可，无需再给出两个条件A1E1=3,C1E1=2，但这样问题又过于简单了，为此对第3问做了进一步的修改.

修改三：在（2）的条件下，当A1 E1=3, C1E1=2时，求BD的长.

三、中考数学第28题将一次函数、三角函数、直角坐标系、动点、相似三角形等有关问题比较自然地联系起来，有计算、有探索，有效地考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力.此题是以动点问题与其他数学知识相结合构造的综合题，有一定的层次性，也渗透了函数思想、方程思想及分类讨论思想等.

28题初稿：

如图，梯形ABCD在平面直角坐标系中，AD//BC，点C（3，-2），D（2，2），直线y=kx-2,经过点H（-1，-1），BC交y轴与点E.

【反思】①把AD∥BC改为上底与x轴平行，下底BC交y轴与E点更加严密，而直线y=kx-2可直接叙述为直线HE，故可将直线y=kx-2略去.

②第2问与第1问求解析式重复，考虑修改为“在动态几何中建立函数关系式”比较合适.

③第3问改变点Q的运动方向,及动点Q沿梯形各边运动一周，提高了题目的难度,但线段DC为无理数，为保证时间t为整数，故把D、C两点的坐标进行调整.同时将已知条件BC和sin∠B设定为总条件,在问法上改为 “存在性探究题”.

修改一（题中字母有调整）：

（1）求直线AB的解析式.

（2）若点H的坐标为（-1，-1），动点G从B出发，以1个单位/秒的速度沿BC边由B点向C点运动（点G与点B、点C可以重合），设SHNE=S,求HNE的面积S与点G的运动时间t′的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）.

【反思】①第（2）问中的点G与点E重合时，HNE的面积S=0，而这在初中解释不通，因此需注明S≠0，同时要求写出自变量的取值范围.

②第（3）问中的“若存在，求出所有的符合条件的点；若不存在，请说明理由”，其中不存在的情况，需加以证明，问题过于复杂,因此需进一步改变问法.

修改二：第（2）问：若点H的坐标为（-1，-1），动点G从B出发，以1个单位/秒的速度沿BC边由B点向C点运动（点G与点B、点C可以重合），求HNE的面积S（S≠0）随动点G的运动时间t 变化的函数关系式（写出自变量的取值范围）.

【反思】第（3）问中的“以P、Q、H为顶点的三角形与HNE相似”，在课本中没有找到出处，故改为 “求出所有能使∠PHM与∠HNE相等的t 的值.”

【反思】考虑到沿两边运动难度不够,最后将动点P设计为沿梯形各边运动一周.

总之，通过对此次中考数学题的命制与研究，我们切身感到，要想提高数学综合题的解题能力，首先，要加强对数学本质问题的研究，对数学的本性问题认识越清楚，就越能有效地把握解题规律；其次，要自觉经历“解题实践――学习探索――反思与提高”的体验，从根本上提高数学综合题的解题能力.

（作者简介：

张双庆：2003年黑龙江省中考数学命题员，2005年哈尔滨市中考数学命题员、2007年哈尔滨市中考数学命题员.

王庆跃：2006年哈尔滨市中考数学命题员，2007年哈尔滨市中考数学审题员.

林青：2007年哈尔滨市中考数学命题员.）

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