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数学教学中常常遇到恒成立问题,学生解决这类问题往往比较吃力.恒成立问题有很多种类型,涉及到一次函数、二次函数的性质和图象、分离常数、导数,蕴含着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,解决恒成立问题有利于提高学生的综合解题能力,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.本文将综合讨论不等式恒成立问题的类型与解法.
一、一次函数型
1.给定一次函数y=f(x)=kx+b (k≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0,则根据函数的图象(线段)可得上述结论等价于
①k>0,
f(m)>0或②k
f(n)>0,也可合并成f(m)>0,
f(n)>0.
同理,若在[m,n]内恒有f(x)
f(n)
例1对于满足0≤p≤4的实数p,求使x2+px>4x+p-3恒成立的x的取值范围.
突破口已知哪个的范围,哪个就是主元.由0≤p≤4,故本题中p是主元.
解原不等式为x2+(p-4)x+3-p>0,0≤p≤4,
整理得(x-1)p+x2-4x+3>0,0≤p≤4.
令y=f(x)=(x-1)p+x2-4x+3,0≤p≤4,
转化为一次函数类型的恒成立问题,
则有f(0)>0,
f(4)>0x∈(-∞,1)∪(3,+∞),
x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)
x∈(-∞,-1)∪(3,+∞).
因此,要x2+px>4x+p-3在0≤p≤4上恒成立,x的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞).
评注在给出的含有两个变量的不等式中,学生习惯把变量x看成是主元(未知数),而把另一个变量a看成参数,在有些问题中这样的解题过程繁琐.如果把已知取值范围的变量作为主元,把要求取值范围的变量看作参数,则可简化解题过程.
二、二次函数型
类型1设f(x)=ax2+bx+c (a≠0),(1)f(x)>0在x∈R上恒成立a>0且Δ
类型2设f(x)=ax2+bx+c (a≠0),
(1)当a>0时,f(x)>0在x∈[α,β]上恒成立
-b2a
f(α)>0或α≤-b2a≤β,
Δβ,
f(β)>0.
f(x)
f(β)
(2)当a0在x∈[α,β]上恒成立f(α)>0,
f(β)>0.
f(x)
-b2a
f(α)
Δβ,
f(β)
例2已知函数f(x)=x2+ax+3-a,
(1)在R上f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
(2)若x∈[-2,2]时,f(x)≥2恒成立,求a的取值范围.
析解(1)y=f(x)的函数图象都在x轴上方,即与x轴没有交点.
Δ=a2-4(3-a)=a2+4a-12
所以-6
(2)题目中要证明f(x)≥a在[-2,2]上恒成立,若把a移到等号的左边,则把原题转化成右边二次函数在区间[-2,2]时恒大于等于0的问题.
解f(x)=x2+ax+3-a≥2,
即g(x)=x2+ax+1-a≥0在[-2,2]上恒成立.
(1)Δ=a2-4(1-a)≤0,
所以-2-22≤a≤-2+22.
(2)Δ>0,
-a2≥2,
g(2)≥0, 或Δ>0,
-a2≤-2,
g(-2)≥0.
解得-5≤a≤-22-2.
综上所述,-5≤a≤-22-2.
规律方法1.解答此类问题一般把问题转化为关于x的函数,即问题就等价于函数g(x)的图象在区间(a,b)内的部分位于x轴上方,结合二次函数的图象,根据二次函数的性质就可以列出a所满足的不等关系.
上面介绍了一次函数和二次函数中的恒成立问题的解法,在解题过程中,要灵活运用题设条件综合分析,选择适当方法准确而快速地解题.
三、分离参数
若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解.其步骤为:
(1)将参数与变量分离,即化为g(λ)≥f(x)(或g(λ)≤f(x)恒成立的形式;
(2)求f(x)在x∈D上的最大(或最小)值;
(3)解不等式g(λ)≥f(x)max(或g(λ)≤f(x)min),得λ的取值范围.
例3(1)对任意x∈[2,+∞),都有不等式x2+(1-t)x+4>0恒成立,求t的取值范围;(2)对任意x∈(2,+∞),都有不等式x2+(1-t)x+4>0恒成立,求t的取值范围.
分析当变量是整个实数集R时,恒成立问题适用判别式法,当变量的范围是区间,也可以选用一元二次方程根的判别式,但计算相对繁琐.常用分离参数法.要特别注意关键点上的取值情况,看能否取到.
解(1)分离不等式x2+(1-t)x+4>0中的参数t,得t
(2)分离不等式x2+(1-t)x+4>0中的参数t,得t5,所以t≤5.
在给出的不等式中,如果通过恒等变形不能直接解出参数,则可将两变量分别置于不等式的两边,即:若f(a)≥g(x)恒成立,只须求出g(x)max,则f(a)≥g(x)max,然后解不等式求出参数a的取值范围;若f(a)≤g(x)恒成立,只须求出g(x)min,则f(a)≤g(x)min,然后解不等式求出参数a的取值范围,问题还是转化为函数求最值.