浅谈三角变换的方法与技巧

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三角变换应用广泛，地位十分重要。它思考性强、方法性强、技巧性强、目标性强。若不善于思考，生搬硬套，容易误入迷途。因此，三角变换的常用技巧是高考中必备的。三角变换的过程是化归的过程，活用公式的过程。在进行三角变换时，常有“条条大路通罗马”之说，这道出了三角变换的不定性和多向性。变换方法的多种多样，可使我们解题时有多种选择，因而较易获得解题途径。但在教学实践中却往往发现，正是由于“路”太多，反而使学生在众多路口前徘徊，难以选择正确的途径往前走。因此，解答此类题时，考虑选择恰当的变换就能使复杂问题简单化，收到事半功倍之效果。

1.角的变换。三角变换中，角的变换是关键，题目中往往出现较多的差异角，注意观察角与角之间的和、差、半等关系，沟通条件与结论之间角的差异，化多角为单角或少未知角的数目。凑角法是我们经常采取的变换方法，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这种关系来选择适当的公式。凑角法表面上看是将角化简为繁，实际上这种变换恰恰体现了由未知角向已知角转换，用已知角表示未知角的思路。

2.函数名称的变换。在六个三角函数中，正余弦是基础，应用最广。其次是正切，通常把割、切化为弦，变异名为同名，化成最常见的也是最熟悉的、变换，方便解题。切割化弦是三角变换的一种常用方法，若能把所给式子中的三角函数都化成同名、同角的三角函数，这样便于下一步变换。实际上这种三角函数的化简是代数式的变形。

化简tan243°+ctan351°-tan9°-ctan117°。

3.常数的变换。在三角函数的运算、求值、证明中，有时需要将一些特殊常数转换为三角函数的值。

比如把 等转换为三角函数。这样就给我们解题增加了许多可用的工具。常数的变换是三角变换的另一种方法，若能熟练地运用特殊常数，便能方便解题。

这里尤其重视常数1的各种变形，常数1既可变为，也可变

为sin2θ+cos2θ。例如： 。

4.公式的变换。三角公式是变换的依据，应研究每一个公式的作用与用法。掌握每一个公式的特点，不能仅局限与它的正用，逆用公式往往也能解决问题，能够熟练的正用、逆用、变形后用。

比如sin2θ+cos2θ=1可变为sin2θ=1-cos2θ，sin2θ=（sinθ+

cosθ）2-1， 等。

5.幂的变换。相当多的题目中，三角函数的幂次有高有低，各不相同，非常不方便运算。利用是“升降幂公式”对某些三角函数的幂次进行升幂或降幂的变换，如对高次幂进行降次变换或对低次幂进行升次变换。

如 等。平方升次变换沟通已知与未知的联系。幂的变换也是三角变换中一种常用方法，合理运用可方便解题。

6.和差与积互化。三角函数中的和差化积、积化和差公式也是中学数学中经常遇到的或可采用的。当题目中出现三角函数间的和差或积的形式，而无法在进行下一步变换时，可采取应将和差化为积或将积化为和差的措施，以降低题目的难度。和差与积互化是三角变换中一种非常实用的方法，很多题目中都会涉及，需要正确恰当地运用，这样才能迅速解题。

7.结构变换。结构变换就是从角、三角函数和式子结构差异入手来调整它们之间的差异。结构变换有时需对条件的结构进行调整，有时需对结论的结构进行调整，有时需同时对条件和结论的结构进行调整。采用同时加减或乘除同一式子，引进适当的辅助式，或作配方，或重新分组，或交换，或移项等等。结构变换这种技巧是三角变换中常见的技巧，若能恰当灵活的运用，可收到事半功倍的效果。

故原命题得证。

8.设元变换。解三角题，还常用其他数学方法，如换元法、代入法、消元法、配方法、构造法等。通过对题目进行变型，恰当引入新的变量，称之为设元变换。在某些条件下，通过设元变换，能起到事半功倍的效果。问题中出现“sinθcosθ，sinθ±cosθ”方法是换元，即令sinθ+cosθ=t。把三角变换同其它一些代数方法结合起来，降低难度，迅速取得想要的结果。

例如：求函数y=sinθ+cosθ+sin2θ(θ∈R)的最大值与最小值。

解：设t=sinθ+cosθ，则 ，所以，-√2≤t≤√2，且sin2θ=t2-1，换元后得 所以，当t=√2时，取最大值为√2+1，

当t=-时，取最小值为-。

9.辅助角变换。一般情况下涉及三角函数的周期和最值问题时，常常将所给的已知式变换为某一个角的三角函数来解决。熟记公式asinθ+bcosθ=√a2+b2sin（θ+φ），确定辅助角的φ是解题的关键，还应注意恰当的运用公式，找准运用时机。也就是说当题目出现形如“asinθ+bcosθ”式子时，大多都采用辅助角代换去解决。

10.轮换角切入。对变数字母按照某种次序施行一次轮换后，得到的还是原来的式子，那么就称这个式子具有轮换性。三角函数中有些题目很抽象，但恰好具有轮换性的特点，通过观察我们可看出它有一定的轮换性，我们可以从这方面着手解决问题。例如：题目最后的结果是y=α2+β2+γ2，则α、β、γ具有轮换性，y的值不会发生变化。

例如：在ABC中，已知三角形的三角关系式y=2+cosBcos（A-C）-cos2B。

1.若任意交换A、B、C的位置，y的值是否会发生变化？试证明你的结论。

2.求y的值。

解：1）因为，y=2+cosB・cos（A-C）- cos2B

=2-cos2Acos2C+sin2Asin2C-cos2B

=sin2A+sin2B+sin2C

所以，y不会发生变换。

2）不妨设B为锐角，则cosB＞0，cos(A-C)≤1，所以：

，故当A=B=C=时，y取最大值。

以上这些变换都是提高解三角变换题目的能力。提高三角变换能力的途径在于：

1.学会创设条件，为灵活运用公式铺平道路。

2.掌握运算、化简、化归的方法和技能。

3.提高观察和分析能力，从发散思维转为定向思维。

4.从直觉思维、逻辑思维上升到辩证思维，克服思维定势的消极影响。

通过学习这些方法与技巧，我们可以灵活解题，而不是生搬硬套。