人们对平行四边形的早期认识

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在日常生活中，若想说服他人，就要准确地表述自己的观点，然后从最简单的命题出发，逐步切人到复杂的命题中.几何学学习也是如此.比如，我们首先学习了点、线、三角形、平行线等基础知识，然后再去学习平行四边形.四大文明古国都先后认识了平行四边形，但好像均对正方形情有独钟.之所以如此，多是为了解决化圆为方的问题，然而，第一个系统地给出平行四边形的有关理论的人，当属古希腊数学家欧几里得，在其旷世名著《原本》中，他较为详细地阐述了平行四边形的基本性质和相关理论，所述的部分理论一直沿用至今，

一 平行四边形的基本性质

欧几里得虽未给出平行四边形的定义，但在他的《原本》第一卷的第22个定义中，给出了正方形、菱形和长方形等图形的定义：

在四边形中，四边相等且四个角是直角者称为正方形；角是直角，但四边不全相等者称为长方形；四边相等，但角不是直角者称为菱形；对角相等且对边亦相等，但边不全等且角不是直角者称为斜方形；其余四边形均为不规则四边形.

关于平行四边形的性质，欧几里得在《原本》第一卷中给出了.

命题34 在平行四边形中，对边相等，对角相等，且对角线二等分其图形.

此命题为平行四边形的性质定理，对角线二等分平行四边形，可利用全等三角形证得，该性质也说明了平行四边形是中心对称图形.

命题35 同底且在相同两平行线之间的平行四边形彼此相等.

命题36 等底且在相同两平行线之间的平行四边形彼此相等.

命题35（如图1）和命题36（如图2）是一对姊妹命题，两个命题的差别仅仅是一个字：“同”还是“等”.这里的“相等”，指的是面积.而依据命题35，容易推出命题36.

二 三角形和平行四边形

同学们都知道，两个全等三角形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的面积是与其等底等高的三角形的面积的2倍，如何作一个平行四边形，使其面积等于已知三角形的面积呢？欧几里得给出了一种作法.

命题41 若一个平行四边形和一个三角形既同底又在两平行线之间，则平行四边形的面积是该三角形的面积的2倍，

比如，对于一个三角形，可先作其一条中线，得到一个三角形BCE，其面积为原三角形的一半.如图3，平行四边形ABCD和BCE满足命题41的条件.于是平行四边形ABCD的面积与原三角形的面积相等，

命题42 以已知直线角求作平行四边形，使其（面积）等于已知三角形（面积）.

这个命题进一步沟通了平行四边形和三角形之间的联系.所作平行四边形的一个内角等于已知的直线角，其面积等于已知的三角形的面积，

命题41和命题42可谓相辅相成.前者是把平行四边形分解为三角形；后者是把三角形转化为面积相等的平行四边形，且在某内角确定时是唯一的.

命题43 在任意的平行四边形中，对角线两边的平行四边形补形彼此（面积）相等.

如图4，若AC为平行四边形ABCD的对角线，则其所谓平行四边形补形为平行四边形BGKE和平行四边形KFDH.利用ABC相似于CDA，AEK相似于KHA，KGC相似于CFK可以证明之，

三 矩形和正方形

《原本》的第二卷主要讨论了矩形和正方形的关系（书中矩形与长方形的意义不尽相同），其中多数命题可以用现代代数符号来解释.第二卷从矩形定义开始：任何矩形都是由形成直角的两条线段构成的.

但这一定义并未说明矩形面积等于其长和宽的乘积，因为欧几里得当时还未能给出长度的乘法的定义.事实上，他从未把长和宽相乘，

命题1 如果有两条线段，其中一条被截成任意几小段，则原来两条线段的矩形（面积）等于各个小段和未截的那条线段构成的矩形（面积）之和，

如图5，假设已知Z和BC是两条线段，用点D，E分线段BC，则ι，BC所构成的矩形的面积等于那几个小矩形的面积之和，若三个小线段的长分别记为a，b，c，则由乘法分配律得：ι（a+b+c）=ιa+ιb+ιc.

命题4若任意两分一条线段，则在整条线段上的正方形（面积）等于各个小段上的正方形（面积）之和加上由两小线段所构成的矩形（面积）的2倍.

如图6，假设点C任意两分线段AB，则可证以AB为边的正方形的面积等于以AC和BC为边的正方形的面积再加上以AC和BC为边的长方形的面积的2倍.这一命题可表示为：（a+b）2=a?+b?+2ab.

《原本》中还有许多相关命题，这里不再赘述，我国古代经典数学著作《九章算术》的第一章《方田》，主要是讲各种形状田地的面积的计算.“方”是指正方形或长方形，且含有单位面积之意.我国古时也称长方形的田为直田或广田，《方田》一章的前两题就揭示出长方形的面积等于长乘以宽，这表明，在公元1世纪前，我国数学是通过对一些实际问题的研究而得出了一般长方形的面积的计算公式，

同学们已经知道，给定了三条边长，三角形就可以被唯一确定，但是四边形四条边的长度确定之后，却可以组成形状不同的四边形，而且四边形可以有凹角，四条边也可以不在一个平面内.所以，从三角形到四边形虽然仅仅是增加了一条边，但其本质上却有了很大的差异。