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谈谈全称量词与存在量词

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量词包括全称量词存在量词两种,前者是指“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词,通常用符号“x”表示“对任意x”;后者是指“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词,通常用符号“x”表示“存在x”.全称量词和存在量词是新课程高考的必考内容,考查方式十分灵活、多样,而且可以和其他知识交汇综合考查.下面就教学中的案例四则,来说明一下全称量词与存在量词的考查方式.

1 准确地利用量词叙述数学内容

含有全称量词的命题称为全称命题,表示为“x∈M,p(x)”;含有存在量词的命题称为特称命题,表示为“x∈M,p(x)”.这里M为给定的集合,p(x)是一个关于x的命题(结论).我们要能区分全称命题和特称命题,并能判断其真假.

例1 (2013・新课标Ⅰ高考)已知命题p:x∈R,2x<3x;命题q:x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是( ).

A.p∧q B.p∧q

C.p∧q D.p∧q

解析 对于命题p:取x=-1,可知为假命题,命题q:令f(x)=x3+x2-1,且f(0)・(1)<0,故f(x)有零点,即方程x3+x2-1=0有解,q:x∈R,x3=1-x2为真命题,选项A,p∧q为假命题,错误;选项B,p∧q为真命题,正确;选项C,p∧q为假命题,错误;选项D,p∧q假命题,错误.故选B.

点评 要判定一个特称命题为真,只要在M中找到一个元素x,使p(x)为真,否则命题为假;要判定一个全称命题为真,必须对给定集合中的每一个元素x,证明p(x)都为真,但事实上要判定一个全称命题为假,只需在给定的集合内找出一个x0,使p(x0)为假即可.

2 正确地对含有一个量词的命题进行否定

一般地,全称命题的否定是:全称量词变为存在量词,且将结论否定,即“x∈M,p(x)”的否定为“x∈M,p(x)”;特称命题的否定是:存在量词变为全称量词,且将结论否定,即“x∈M,p(x)”的否定为“x∈M,p(x)”.

例2 (2013・四川高考)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:x∈A,2x∈B,则( ).

A.p:x∈A,2x∈B

B.p:xA,2x∈B

C.p:x∈A,2xB

D.p:xA,2xB

解析 根据题意可知命题p:x∈A,2x∈B的否定是p:x∈A,2xB,故选C.

点评 不含量词的命题的否命题是将命题的条件和结论都进行否定,如“若x=1,则x2-3x+2=0”的否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”;不含量词的命题的否定是命题的条件不变,只将结论进行否定,如“若x=1,则x2-3x+2=0”的否定为“若x=1,则x2-3x+2≠0”.实际上这里x=1可以写成x∈{xx=1}或x∈{xx=1},其意义不会发生变化,只是因为没有可选择变化的余地、范围,再加上量词就显得多此一举.

3 充分地发挥含有一个量词的命题的否定在解题中的功能

对于有些数学问题,如果能灵活地将全称命题与特称命题进行相互转化,则往往能使问题化难为易,迎刃而解.

例3 若二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]内至少存在一点c,使得f(c)>0,则实数p的取值范围为 .

解析 若二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]内任意一点c,总有f(c)≤0,则f(-1)≤0,

f(1)≤0,,解得p≤-3,或p≥32,故原题所求p的范围为-3,32.

点评 本题题设属特称命题,若直接求解,则需分类讨论,头绪繁多,操作困难.于是不妨考虑其否定:若二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]内任意一点c,总有f(c)≤0,求得此情形下实数p的取值范围,然后得出结论.

4 准确地把握全称量词和存在量词的区别和联系

有些数学问题中既有全称量词又有存在量词,要能分清层次关系,理解本质.

例4 (2014・济南模拟)已知函数f(x)=4x2-72-x,x∈[0,1],函数g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1],其中常数a≥1.若对x1∈[0,1],总x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,则a的取值范围为 .

解析 f(x)=4(2-x)+92-x-16,可以求得f(x)的值域为[-4,-3];

g′(x)=3x2-3a2=3(x+a)(x-a)且a≥1,从而g(x)在0,1上单调递减,所以g(x)的值域为[1-3a2-2a,-2a].

依题意得f(x)的值域为g(x)值域的子集,

所以-4≥1-3a2-2a,

-3≤-2a,

a≥1,得1≤a≤32.

答案:1,32

点评 不难发现,对某个给定的x1,总x0∈0,1,使得g(x0)=f(x1)成立等价于f(x1)是函数g(x),x∈0,1值域中的一个元素.于是,不难理解,对x1∈0,1,总x0∈0,1,使得g(x0)=f(x1)成立等价于f(x),x∈0,1的值域为g(x),x∈0,1值域的子集.

在高中阶段,对于两种量词的教学,不追求形式化的定义,否则对于学生来说很难理解,况且课时也不允许.教学中应当以案例为主开展教学活动,注意引导学生通过对案例的分析,正确掌握量词的用法,理解它们的含义,纠正出现的逻辑错误,体会运用常用逻辑语言表述数学内容的准确性、简洁性.