浅议图运算邻接矩阵的奇异性

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摘 要：图可以用矩阵表示，图中顶点与顶点的关系，边与回路的关系，都可以用矩阵来表示.本文章所涉及的是图论中的图与邻接矩阵的关系，在矩阵奇异性研究的基础上，研究图运算，两个图的并、联、积与合成，在图运算后得到的新图与原图是否相近;并且研究图运算和矩阵奇异性之间的关系，改变条件，图的邻接矩阵的奇异性在图作运算（并，联，积，合成）后是否发生改变.

关键词：图;邻接矩阵;并;联;积;合成;奇异性

图论是近年来发展十分迅速、应用比较广泛的一个新兴的数学分支。在图的邻接矩阵与奇异性方面，文章研究建立在有交或者无交圈图的邻接矩阵的奇异性判定以及证明上，本文描述一些圈图的奇异性以及非奇异性分类;在广义图的奇异性方面，文章侧重在求解满足E（G）=V（G）+1的简单连通图G的邻接矩阵A（G）奇异性的判定方法。

本文从另一个角度讨论图邻接矩阵的奇异性。若图G1的邻接矩阵和G2的邻接矩阵的奇异性相同（或相反），则这两个图G1和G2做二元运算（并，联，积，合成）之后所得图的邻接矩阵的奇异性.

定义1 设图G顶点集合为V（G）=（v1，v2，…，vp），边集为E（G）={e1，e2，…，ep}，则图G的邻接矩阵A（G）=（aij）p×p，其中aij=1，vivj∈E（G）0，vivj？埸E（G）

定义2 设A是一个n阶矩阵，若detA=0，则称A是奇异的，否则称是A非奇异的。

定义3 图G1和G2分别有不相交的点集V1与V2和边集X1与X2，则图G1和G2的并G1∪G2定义为V=V1∪V2，X=X1∪X2。

定义4 图G1和G2分别有不相交的点集V1与V2和边集X1与X2，则图G1和G2的联G=G1+G2定义为G1∪G2和所有联结V1和V2的线所组成的图。

定义5 在V=V1×V2中任意的两个点u=（u1，u2）和v=（v1，v2），两个图的积G=G1×G2是当u1=v1以及u2与v2相连或者u2=v2以及u1与v1相连时u和v在G=G1×G2中邻接。

定义6 两个图的合成G=G1[G2]以V=V1×V2为它的点集，而u=（u1，u2）和v=（v1，v2）当u1与v1连接或者u1=v1以及u2与v2连接时邻接。

对于图的二元运算，若G1，G2分别是（p1，q1）图和（p2，q2）图，则对于以上提及的每一种运算，可以计算运算后的图的点和边的数目。

表2-1 图的二元运算顶点及边的数目

例1 图G1，G2如图3-1所示，则图G1，G2的邻接矩阵分别为

A1=0 1 01 0 00 0 0， A2=0 1 11 0 11 1 0，

则有detA1=0，detA2=2，即矩阵A1是奇异的，矩阵A2是非奇异的.

对图G1和图G2作并运算，所得的图为图3-2

由图3-2可知，图G=G1∪G2的邻接矩阵为

A=0 1 0 0 0 01 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 1 10 0 0 1 0 10 0 0 1 1 0

从而图G邻接矩阵A的行列式detA=A1，A2=0即矩阵A是奇异的.

综合上述讨论可以得到

定理1 若图G1，G2的邻接矩阵有一个是奇异的，则G=G1∪G2的邻接矩阵是奇异的.

证明 设图G1的邻接矩阵为A1，G2的邻接矩阵为A2，则有G=G1∪G2的邻接矩阵为A=A1 00 A2

由detA=A1 00 A2=A1A2，可知当且仅当A1≠0，A2≠0时，detA≠0，也即G1，G2的邻接矩阵A1，A2有一个是奇异的，则A1=0或A2=0，从而detA=0，则G=G1∪G2的邻接矩阵是奇异的。

由定理证明可知，G=G1∪G2的邻接矩阵是非奇异的条件为图G1，G2的邻接矩阵都是非奇异的。

参考文献：

[1]屈婉玲，耿素云，张立昂.离散数学[M].北京：高等教育出版社，2008，173-190.

[2]王树禾.图论及其算法[M].安徽：中国科学技术大学出版社，1990，1-15.